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Un petit casse-tête



  1. #1
    martini_bird

    Talking Un petit casse-tête


    ------

    Bonjour,

    suite à une discussion sur l'équipotence de [0, 1] et R, je vous invite à proposer une bijection simple (aussi simple que possible!) entre l'intervalle fermé [0, 1] et l'ensemble R des nombres réels. A vos crayons!

    -----

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  3. #2
    R is R

    Re : Un petit casse-tête

    j'ai pas trop compris la question mais si faut trouver une bijection de [0;1] sur R je penserais a la fonction tan(x)

  4. #3
    Coincoin

    Re : Un petit casse-tête

    Salut,
    tan est une bijection de ]-Pi/2;Pi/2[ dans R... et toute la difficulté consiste à passer de l'intervalle ouvert à l'intervalle fermé.
    Encore une victoire de Canard !

  5. #4
    Quinto

    Re : Un petit casse-tête

    Notons déja pour information, que notre fonction ne peut pas être continue puisque si elle l'était, on aurait que [0,1] est ouvert...

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Sephi

    Re : Un petit casse-tête

    Pourtant lR est aussi un fermé

  8. #6
    Quinto

    Re : Un petit casse-tête

    Citation Envoyé par Sephi
    Pourtant lR est aussi un fermé
    Et alors????

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  10. #7
    Sephi

    Re : Un petit casse-tête

    Ben que la fonction ne peut pas être continue, mais ce n'est pas parce qu'elle causerait une bijection entre un fermé et un ouvert, vu que lR est aussi fermé.

  11. #8
    Quinto

    Re : Un petit casse-tête

    C'est pas une question de bijection entre un fermé et un ouvert.

    Qu'elle est l'image réciproque de R par f?

  12. #9
    Sephi

    Re : Un petit casse-tête

    Oh, excuse alors.

    Sinon, on pourrait ptêt chercher d'abord une bijection entre [0,1] et ]0,1[, ça a l'air plus abordable ...

  13. #10
    olle

    Re : Un petit casse-tête

    y=[th(x)+1]/2 ?
    et donc x=argth(2y-1)

    mais bon si vous voulez jouer sur ouvert/fermé...

  14. #11
    invite765732342432
    Invité

    Re : Un petit casse-tête

    Citation Envoyé par Sephi
    Oh, excuse alors.

    Sinon, on pourrait ptêt chercher d'abord une bijection entre [0,1] et ]0,1[, ça a l'air plus abordable ...
    Pas vraiment plus abordable:
    Comme on connais déjà des bijections entre ]0, 1[ vers IR, les questions sont exactement équivalentes...

  15. #12
    Evil.Saien

    Re : Un petit casse-tête

    un truc genre:
    ln (e * x) / cos (Pi x / 2) ca marcherait pas ?
    Enfin je dis ca comme ca

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  17. #13
    Evil.Saien

    Re : Un petit casse-tête

    Sinon j'ai une construction géomètrique à proposé, puisque il est bien spécifié que l'interval soit fermé...
    On trace un triangle ABC isocèle en A. Prenons BC = 2.
    On considère le triangle ADE isocèle en A tq DE = 1.
    Il est possible géométriquement de trouver une bijection entre BC et DE.
    Ensuite on passe de 2 à 3, de 3 à 4 et ainsi de suite jusqu'a l'infini...
    Mathématiquement on fait une suite de bijections entre [0, n] et [0, n+1] et on fait tendre n->oo

  18. #14
    invite9321657

    Re : Un petit casse-tête

    Citation Envoyé par martini_bird
    Bonjour,

    suite à une discussion sur l'équipotence de [0, 1] et R, je vous invite à proposer une bijection simple (aussi simple que possible!) entre l'intervalle fermé [0, 1] et l'ensemble R des nombres réels. A vos crayons!
    ben

    si x<0.5

    f(x)=(0.5/(-x))+1

    si x>=0.5

    f(x)=(0.5/(1-x))-1

  19. #15
    invite9321657

    Re : Un petit casse-tête

    sinon je vois pas trop comment faire de bijection entre un interval fermé et un ouvert... ?? c'est possible ça ?

  20. #16
    Evil.Saien

    Re : Un petit casse-tête

    Pour prendre un vrai modèle mathématique, prenons la fonction de [0, 1] -> [0, 2] : f(x) = 2x
    f est bijective, g = y/2 (g inverse de f)
    Ensuite on peut passer de [0, 1] à [0, 4] g= y/4
    de [0, 1] à [0, 8] => g = y/8, etc...
    Donc, pour tout y E IR, on peut retrouver sa fonction inverse du moment qu'on puisse trouver i tq : 2^i >= y
    A ce moment, g = y / 2^i

  21. #17
    invite9321657

    Re : Un petit casse-tête

    Citation Envoyé par Evil.Saien
    Pour prendre un vrai modèle mathématique, prenons la fonction de [0, 1] -> [0, 2] : f(x) = 2x
    f est bijective, g = y/2 (g inverse de f)
    Ensuite on peut passer de [0, 1] à [0, 4] g= y/4
    de [0, 1] à [0, 8] => g = y/8, etc...
    Donc, pour tout y E IR, on peut retrouver sa fonction inverse du moment qu'on puisse trouver i tq : 2^i >= y
    A ce moment, g = y / 2^i
    c'est bien beau mais la fonction Z=f°g°h...etc n'existe pas
    car tu ne peux pas associer un seul Z(x) à aucun x...

  22. #18
    Evil.Saien

    Re : Un petit casse-tête

    si mais seulement lorsque i -> oo ...
    Ceci dit c'était peut etre pas un bon exemple, mais j'essayais de dire que il faut peut etre utiliser des bijonctions en série sur des intervales de plus en plus grands...

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  24. #19
    eljeys

    Re : Un petit casse-tête

    Je propose une solution.

    Soit h de [0;1] vers [0;1[ définie comme suit:
    -si il existe n entier naturel tel que x=1/2^n, alors h(x)=x/2
    -h(x)=x sinon.

    h établit une bijection de [0;1] vers [0;1[

    Maitenant soit g de [0;1] vers ]0;1[ définie par g(x)=h(1-h(x)).
    g établit une bijection de [0;1] vers ]0;1[.

    d'où f(x)=tan(Pi*g(x)-Pi/2) bijection de [0;1] vers R.

  25. #20
    martini_bird

    Re : Un petit casse-tête

    Citation Envoyé par eljeys
    Je propose une solution.

    Soit h de [0;1] vers [0;1[ définie comme suit:
    -si il existe n entier naturel tel que x=1/2^n, alors h(x)=x/2
    -h(x)=x sinon.

    h établit une bijection de [0;1] vers [0;1[

    Maitenant soit g de [0;1] vers ]0;1[ définie par g(x)=h(1-h(x)).
    g établit une bijection de [0;1] vers ]0;1[.

    d'où f(x)=tan(Pi*g(x)-Pi/2) bijection de [0;1] vers R.
    Salut,

    c'est une bonne idée! Je reformule l'expression de g, des fois qu'il y ait des sceptiques:
    g(0)=1/2
    g(1)=1/4
    g(1/2n)=1-1/2n+1
    g(x)=x sinon.

    Merci, quelle ingéniosité!

  26. #21
    yat

    Re : Un petit casse-tête

    Citation Envoyé par martini_bird
    Salut,

    c'est une bonne idée! Je reformule l'expression de g, des fois qu'il y ait des sceptiques:
    g(0)=1/2
    g(1)=1/4
    g(1/2n)=1-1/2n+1
    g(x)=x sinon.

    Merci, quelle ingéniosité!
    Euh... du coup ça fait g(1/4)=7/8... or g(7/8) est déjà égal à 7/8...

    En appliquant en une seule passe l'idée d'eljeys je dirais g(1/2n)=1/2n+2 (en gardant le reste tel quel).
    Sinon on peut appliquer directement la solution d'eljeys en deux étapes, mais on va aboutir à quelque chose de plus compliqué.

  27. #22
    martini_bird

    Re : Un petit casse-tête

    Tu as raison: ma reformulation est fausse. Honte à moi!

  28. #23
    olle

    Re : Un petit casse-tête

    puis pour la suite, la fonction tan n'est pas bijective. il faut utiliser de la th qui elle est bijective. enfin, peut être dans ce cas là, bref. quitte à dire "f(x) = ... si et = ... sinon", autant définir directement la valeur de f(0) et f(1).
    Dernière modification par olle ; 08/12/2004 à 16h36.

  29. #24
    invite9321657

    Re : Un petit casse-tête

    Non mais c'est impossible de définir une bijection d'un interval ouvert sur un interval fermé..
    ça doit être démontrable...
    Si à chaque x on associe un f(x) , l'interval fermé aura toujours deux éléments de plus : les bornes..

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  31. #25
    Evil.Saien

    Re : Un petit casse-tête

    t'es d'acoord qu'on peut faire une bijection entre ]0, 1[ et IR, mais par contre de [0, 1] à ]0, 1[ tu trouves ca choquant !! Selon ta logique dans le premier cas on ajoute encore plus d'élements...

  32. #26
    Sephi

    Re : Un petit casse-tête

    Citation Envoyé par One Eye Jack
    Non mais c'est impossible de définir une bijection d'un interval ouvert sur un interval fermé..
    C'est possible si le cardinal de ces intervalles est transfini.

  33. #27
    invite9321657

    Re : Un petit casse-tête

    Citation Envoyé par Evil.Saien
    t'es d'acoord qu'on peut faire une bijection entre ]0, 1[ et IR, mais par contre de [0, 1] à ]0, 1[ tu trouves ca choquant !! Selon ta logique dans le premier cas on ajoute encore plus d'élements...
    exactement .. donne moi en une de [0, 1] à ]0, 1[ !

  34. #28
    invite9321657

    Re : Un petit casse-tête

    il faut voir cela en image.. tu peut étirer un élastique autant que tu veux, tu peux le compressé à l'infini pour le faire rentré dans une petit boite, mais par contre tu peut pas transformé un élastique infinie en élastique fini .. ça rejoint la topologie.. enfin je me trompe peut-être ..
    Soit il y a un dernier élément, soit il n'y en a pas..

  35. #29
    yat

    Re : Un petit casse-tête

    Citation Envoyé par One Eye Jack
    Non mais c'est impossible de définir une bijection d'un interval ouvert sur un interval fermé..
    ça doit être démontrable...
    Si à chaque x on associe un f(x) , l'interval fermé aura toujours deux éléments de plus : les bornes..
    Citation Envoyé par One Eye Jack
    donne moi en une de [0, 1] à ]0, 1[ !
    Bah pas besoin d'une démo quand on a un exemple du contraire : La fonction proposée par eljeys est bien une bijection de [0;1] sur ]0;1[. Les bornes de l'intervalle fermé, on les retrouve dans un sous ensemble infini de l'intervalle final. On décale tous les éléments de ce sous-ensemble et ça ne risque pas de déborder en l'infini. C'est super futé mais très simple.

  36. #30
    eljeys

    Re : Un petit casse-tête

    Citation Envoyé par martini_bird
    Tu as raison: ma reformulation est fausse. Honte à moi!
    En fait, tu as juste oublié un autre cas.

    g(1-1/2n)=h(1-h(1-1/2n))=h(1-(1-1/2n ))=h(1/2n)=1/2 n+1 pour n différent de 1.

    dans ce cas g(7/8)=1/16

    Citation Envoyé par One Eye Jack
    Non mais c'est impossible de définir une bijection d'un interval ouvert sur un interval fermé..
    On peut établir une bijection entre deux intervalles de R du moments qu'ils ne sont pas vides ni réduits à un point.

    Citation Envoyé par olle
    puis pour la suite, la fonction tan n'est pas bijective.
    tan est bijective de ]-Pi/2;Pi/2[ dans R alors que th est bijective de R dans [-1;1]. C'est donc argth, inverse de th que l'on peut utiliser si on n'aime pas tangente.

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