Un petit casse-tête

[invite4793db90]

Bonjour,

suite à une discussion sur l'équipotence de [0, 1] et R, je vous invite à proposer une bijection simple (aussi simple que possible!) entre l'intervalle fermé [0, 1] et l'ensemble R des nombres réels. A vos crayons!
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[invite787e8665]

j'ai pas trop compris la question mais si faut trouver une bijection de [0;1] sur R je penserais a la fonction tan(x)

[invite88ef51f0]

Salut,
tan est une bijection de ]-Pi/2;Pi/2[ dans R... et toute la difficulté consiste à passer de l'intervalle ouvert à l'intervalle fermé.

[inviteab2b41c6]

Notons déja pour information, que notre fonction ne peut pas être continue puisque si elle l'était, on aurait que [0,1] est ouvert...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef591ed4b]

Pourtant lR est aussi un fermé

[inviteab2b41c6]

Pourtant lR est aussi un fermé

Et alors????

[invitef591ed4b]

Ben que la fonction ne peut pas être continue, mais ce n'est pas parce qu'elle causerait une bijection entre un fermé et un ouvert, vu que lR est aussi fermé.

[inviteab2b41c6]

C'est pas une question de bijection entre un fermé et un ouvert.

Qu'elle est l'image réciproque de R par f?

[invitef591ed4b]

Oh, excuse alors.

Sinon, on pourrait ptêt chercher d'abord une bijection entre [0,1] et ]0,1[, ça a l'air plus abordable ...

[invite00411460]

y=[th(x)+1]/2 ?
et donc x=argth(2y-1)

mais bon si vous voulez jouer sur ouvert/fermé...

[invite765732342432]

Oh, excuse alors.

Sinon, on pourrait ptêt chercher d'abord une bijection entre [0,1] et ]0,1[, ça a l'air plus abordable ...

Pas vraiment plus abordable:
Comme on connais déjà des bijections entre ]0, 1[ vers IR, les questions sont exactement équivalentes...

[inviteeecca5b6]

un truc genre:
ln (e * x) / cos (Pi x / 2) ca marcherait pas ?
Enfin je dis ca comme ca

[inviteeecca5b6]

Sinon j'ai une construction géomètrique à proposé, puisque il est bien spécifié que l'interval soit fermé...
On trace un triangle ABC isocèle en A. Prenons BC = 2.
On considère le triangle ADE isocèle en A tq DE = 1.
Il est possible géométriquement de trouver une bijection entre BC et DE.
Ensuite on passe de 2 à 3, de 3 à 4 et ainsi de suite jusqu'a l'infini...
Mathématiquement on fait une suite de bijections entre [0, n] et [0, n+1] et on fait tendre n->oo

[invite6b1a864b]

Bonjour,

suite à une discussion sur l'équipotence de [0, 1] et R, je vous invite à proposer une bijection simple (aussi simple que possible!) entre l'intervalle fermé [0, 1] et l'ensemble R des nombres réels. A vos crayons!

ben

si x<0.5

f(x)=(0.5/(-x))+1

si x>=0.5

f(x)=(0.5/(1-x))-1

[invite6b1a864b]

sinon je vois pas trop comment faire de bijection entre un interval fermé et un ouvert... ?? c'est possible ça ?

[inviteeecca5b6]

Pour prendre un vrai modèle mathématique, prenons la fonction de [0, 1] -> [0, 2] : f(x) = 2x
f est bijective, g = y/2 (g inverse de f)
Ensuite on peut passer de [0, 1] à [0, 4] g= y/4
de [0, 1] à [0, 8] => g = y/8, etc...
Donc, pour tout y E IR, on peut retrouver sa fonction inverse du moment qu'on puisse trouver i tq : 2^i >= y
A ce moment, g = y / 2^i

[invite6b1a864b]

Pour prendre un vrai modèle mathématique, prenons la fonction de [0, 1] -> [0, 2] : f(x) = 2x
f est bijective, g = y/2 (g inverse de f)
Ensuite on peut passer de [0, 1] à [0, 4] g= y/4
de [0, 1] à [0, 8] => g = y/8, etc...
Donc, pour tout y E IR, on peut retrouver sa fonction inverse du moment qu'on puisse trouver i tq : 2^i >= y
A ce moment, g = y / 2^i

c'est bien beau mais la fonction Z=f°g°h...etc n'existe pas
car tu ne peux pas associer un seul Z(x) à aucun x...

[inviteeecca5b6]

si mais seulement lorsque i -> oo ...
Ceci dit c'était peut etre pas un bon exemple, mais j'essayais de dire que il faut peut etre utiliser des bijonctions en série sur des intervales de plus en plus grands...

[invite10c91cbe]

Je propose une solution.

Soit h de [0;1] vers [0;1[ définie comme suit:
-si il existe n entier naturel tel que x=1/2^n, alors h(x)=x/2
-h(x)=x sinon.

h établit une bijection de [0;1] vers [0;1[

Maitenant soit g de [0;1] vers ]0;1[ définie par g(x)=h(1-h(x)).
g établit une bijection de [0;1] vers ]0;1[.

d'où f(x)=tan(Pi*g(x)-Pi/2) bijection de [0;1] vers R.

[invite4793db90]

Je propose une solution.

Soit h de [0;1] vers [0;1[ définie comme suit:
-si il existe n entier naturel tel que x=1/2^n, alors h(x)=x/2
-h(x)=x sinon.

h établit une bijection de [0;1] vers [0;1[

Maitenant soit g de [0;1] vers ]0;1[ définie par g(x)=h(1-h(x)).
g établit une bijection de [0;1] vers ]0;1[.

d'où f(x)=tan(Pi*g(x)-Pi/2) bijection de [0;1] vers R.

Salut,

c'est une bonne idée! Je reformule l'expression de g, des fois qu'il y ait des sceptiques:
g(0)=1/2
g(1)=1/4
g(1/2ⁿ)=1-1/2ⁿ⁺¹
g(x)=x sinon.

Merci, quelle ingéniosité!

[yat]

Salut,

c'est une bonne idée! Je reformule l'expression de g, des fois qu'il y ait des sceptiques:
g(0)=1/2
g(1)=1/4
g(1/2ⁿ)=1-1/2ⁿ⁺¹
g(x)=x sinon.

Merci, quelle ingéniosité!

Euh... du coup ça fait g(1/4)=7/8... or g(7/8) est déjà égal à 7/8...

En appliquant en une seule passe l'idée d'eljeys je dirais g(1/2ⁿ)=1/2ⁿ⁺² (en gardant le reste tel quel).
Sinon on peut appliquer directement la solution d'eljeys en deux étapes, mais on va aboutir à quelque chose de plus compliqué.

[invite4793db90]

Tu as raison: ma reformulation est fausse. Honte à moi!

[invite00411460]

puis pour la suite, la fonction tan n'est pas bijective. il faut utiliser de la th qui elle est bijective. enfin, peut être dans ce cas là, bref. quitte à dire "f(x) = ... si et = ... sinon", autant définir directement la valeur de f(0) et f(1).

[invite6b1a864b]

Non mais c'est impossible de définir une bijection d'un interval ouvert sur un interval fermé..
ça doit être démontrable...
Si à chaque x on associe un f(x) , l'interval fermé aura toujours deux éléments de plus : les bornes..

[inviteeecca5b6]

t'es d'acoord qu'on peut faire une bijection entre ]0, 1[ et IR, mais par contre de [0, 1] à ]0, 1[ tu trouves ca choquant !! Selon ta logique dans le premier cas on ajoute encore plus d'élements...

[invitef591ed4b]

Non mais c'est impossible de définir une bijection d'un interval ouvert sur un interval fermé..

C'est possible si le cardinal de ces intervalles est transfini.

[invite6b1a864b]

t'es d'acoord qu'on peut faire une bijection entre ]0, 1[ et IR, mais par contre de [0, 1] à ]0, 1[ tu trouves ca choquant !! Selon ta logique dans le premier cas on ajoute encore plus d'élements...

exactement .. donne moi en une de [0, 1] à ]0, 1[ !

[invite6b1a864b]

il faut voir cela en image.. tu peut étirer un élastique autant que tu veux, tu peux le compressé à l'infini pour le faire rentré dans une petit boite, mais par contre tu peut pas transformé un élastique infinie en élastique fini .. ça rejoint la topologie.. enfin je me trompe peut-être ..
Soit il y a un dernier élément, soit il n'y en a pas..

[yat]

Non mais c'est impossible de définir une bijection d'un interval ouvert sur un interval fermé..
ça doit être démontrable...
Si à chaque x on associe un f(x) , l'interval fermé aura toujours deux éléments de plus : les bornes..

donne moi en une de [0, 1] à ]0, 1[ !

Bah pas besoin d'une démo quand on a un exemple du contraire : La fonction proposée par eljeys est bien une bijection de [0;1] sur ]0;1[. Les bornes de l'intervalle fermé, on les retrouve dans un sous ensemble infini de l'intervalle final. On décale tous les éléments de ce sous-ensemble et ça ne risque pas de déborder en l'infini. C'est super futé mais très simple.

[invite10c91cbe]

Tu as raison: ma reformulation est fausse. Honte à moi!

En fait, tu as juste oublié un autre cas.

g(1-1/2ⁿ)=h(1-h(1-1/2ⁿ))=h(1-(1-1/2ⁿ ))=h(1/2ⁿ)=1/2 ⁿ⁺¹ pour n différent de 1.

dans ce cas g(7/8)=1/16

Non mais c'est impossible de définir une bijection d'un interval ouvert sur un interval fermé..

On peut établir une bijection entre deux intervalles de R du moments qu'ils ne sont pas vides ni réduits à un point.

puis pour la suite, la fonction tan n'est pas bijective.

tan est bijective de ]-Pi/2;Pi/2[ dans R alors que th est bijective de R dans [-1;1]. C'est donc argth, inverse de th que l'on peut utiliser si on n'aime pas tangente.