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petit casse tête fonction ln



  1. #1
    Claudinne

    petit casse tête fonction ln


    ------

    Bonjour,

    je veux démontrer à l'aide de la proprièté lnab=lna+lnb
    que
    ln u < u
    pour u>0 biensur!!

    J'ai pu démontrer auparavant que lnracx = 1/2 lnx

    en effet on a x>0 x=(racx)², d'où lnx= ln racx+lnracx
    soit 1/2 lnx = 1/2 .(2lnracx)
    Ssi 1/2 lnx=lnracx

    mais pour après je n'y arrive pas!! Je sais que l(on peut démontre ln u< u grace à ln u-u <0
    je l'ai fait mais il faut utiliser que la propriété que l'on nous soumet...donc ???
    je continue çà chercher mais si
    quelquu'un a un tuyaux....., je vous en remercie d'avance Marie

    -----

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  3. #2
    zoup1

    Re : petit casse tête fonction ln

    Il faut sans doute aussi utiliser le fait que ln(e)=1

    en effet la propriété ln(ab)=ln(a)+ln((b) est valable pour toutes les bases de logarithme alors que ln(u)<u n'est pas valable pour toutes les bases...
    Je te donne une idée, tu me donnes une idée, nous avons chacun deux idées.

  4. #3
    evariste_galois

    Re : petit casse tête fonction ln

    Petite aide:
    exprime -u à l'aide de la fonction ln , autrement dit trouve un A tel que -u=ln(A) (en espérant que tu ai déjà étudié la fonction exponentielle , je peux pas être plus clair!).

    Alors tu auras une expression de la forme ln(u)+ln(A)=ln(u*A) et puisque tu sais que ln(u*A) est strictement négatif si, et seulement si, 0<u*A<1 , la conclusion sera alors aisée!
    Dernière modification par evariste_galois ; 09/03/2005 à 17h37.
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  5. #4
    Claudinne

    Re : petit casse tête fonction ln

    si j'ai compris A= e^(-u)


    or u>0 donc -u<0 et e^(-u) <1 mais >0

    et u>0 donc u > ue^(-u) >0 la je suis d'ac mais le 1 ça vient d'où ?? sinon je trouve que la technique est pas mal...j'ai peur que le fait d'utilisé l'exponentielle comme fonction réciproque soit intérdit... mais il me reste de toute façon à prouvé que ln(ue^(-u)) est négatif autrment dit de prouver que 0<ue^(-u) <1 le 1 je ne vois pas....merci bcp!!

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    chouket

    Re : petit casse tête fonction ln

    coucou,
    pourquoi faire simple,quand on peut faire compliquer
    bon alors comme j'arrive pas à voir où evariste_galois veut en venir, je peux te donner une autre démonstration (c'est une propriété du cours) qui consiste à prouver que sauf que c'est strictement inférieur et que je n'arrive pas à me servir du latex...
    On s'est servi de cette propriété pour trouver la limite en + de donc si tu veux la démo c'est avec plaisir, mais je pense qu'il y a beaucoup plus simple...
    chouket.
    Le coeur le plus sensible à la beauté des fleurs est toujours le premier blessé par ses épines

  8. #6
    matthias

    Re : petit casse tête fonction ln

    Si vous voulez faire simple, étudiez les variations de f(x) = Ln(x) - x, trouvez son maximum, et c'est fini.

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  10. #7
    chouket

    Re : petit casse tête fonction ln

    Citation Envoyé par matthias
    Si vous voulez faire simple, étudiez les variations de f(x) = Ln(x) - x, trouvez son maximum, et c'est fini.
    c'est ce qu'on a fait en cours avec racine (cf post 5)
    Le coeur le plus sensible à la beauté des fleurs est toujours le premier blessé par ses épines

  11. #8
    matthias

    Re : petit casse tête fonction ln

    Bon, évidemment, en faisant ça, on n'utilise pas vraiment la propriété ...

  12. #9
    Romain-des-Bois

    Re : petit casse tête fonction ln

    Citation Envoyé par Claudinne
    Bonjour,

    je veux démontrer à l'aide de la proprièté lnab=lna+lnb
    que
    ln u < u
    pour u>0 biensur!!

    J'ai pu démontrer auparavant que lnracx = 1/2 lnx

    en effet on a x>0 x=(racx)², d'où lnx= ln racx+lnracx
    soit 1/2 lnx = 1/2 .(2lnracx)
    Ssi 1/2 lnx=lnracx

    mais pour après je n'y arrive pas!! Je sais que l(on peut démontre ln u< u grace à ln u-u <0
    je l'ai fait mais il faut utiliser que la propriété que l'on nous soumet...donc ???
    je continue çà chercher mais si
    quelquu'un a un tuyaux....., je vous en remercie d'avance Marie
    c'est mon sujet de bac blanc ... !!!!!!!!!

  13. #10
    Claudinne

    Re : petit casse tête fonction ln

    a ba nos profs ont les mêmes sources!!! Moi c'est un dM!!
    *Mais je crois avoir trouver la solution avec l'aide evariste galois!! En effet j'ai simplement étudier ue^-u

    car lnu - u = lnu + ln(e^-u) = ln (ue^-u)
    or je peux démontrere à l'aide d'une étude fonction que ue^-u appartient à ]0;1[ donc ln(ue^-u) <0
    Voila, le tour est joué!!

    ...Meric à tous pour vos réponse
    Dernière modification par Claudinne ; 10/03/2005 à 18h08. Motif: faute

  14. #11
    matthias

    Re : petit casse tête fonction ln

    ben oui, pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ?
    Au lieu d'étudier directement Ln(u) - u (archi facile), on passe par les exponentielles ...(aussi archi facile, mais à mon avis totalement inutile).
    Tout ça pour dire qu'on a utilisé la propriété ...

  15. #12
    C.B.

    Re : petit casse tête fonction ln

    Citation Envoyé par Claudinne
    Bonjour,

    je veux démontrer à l'aide de la proprièté lnab=lna+lnb
    que
    ln u < u
    pour u>0 biensur!!
    Citation Envoyé par zoup1
    Il faut sans doute aussi utiliser le fait que ln(e)=1

    en effet la propriété ln(ab)=ln(a)+ln((b) est valable pour toutes les bases de logarithme alors que ln(u)<u n'est pas valable pour toutes les bases...
    Il faut aussi utiliser la continuité du log, car il existe des fonctions non continues vérifiants f(ab)=f(a)+f(b) et f(e)=1 qui ne vérifient pas f(u)<u pour tout u.

    Il suffit de prendre une fonction h de R dans R qui est linéaire sur R en tant que Q espace vectoriel et bijective mais qui n'est pas continue pour la topologie usuelle de R. on définit g= exp o h et f l'inverse de g. f vérifie alors f(a+b)=f(a)+f(b).
    On peut imposer que h(1)=1 et que pour un certain a irrationnel h(a)=ln(a), alors on a g(a)=a donc f(a)=a et on a pas f(a)<a.

    Pour définir ainsi h on fixe une Q base B de R qui contient 1.
    On prend une sous famille dénombrable de B qui ne contient pas 1.
    On choisit a dans B privé des et de 1
    et on pose :
    h(1)=1
    h(a)=a
    h()=n * .

    Citation Envoyé par matthias
    Tout ça pour dire qu'on a utilisé la propriété ...
    Je suis d'accord, ce n'est pas très utile en fait, surtout que l'on utilise pas d'hypothèses plus faibles que celle qu'on utiliserait pour étudier ln(u)-u.

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