Continuité de f(x) = x²

[Bleyblue]

Bonjour,

Dites, j'ai entendut dire que la fonction f(x) = x² n'est pas continue partout sur son domaine ...

Pensez vous que ce soit vrai ? Moi ça me semble louche comme histoire ...

Merci
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[invite3f53d719]

C'est effectivement très louche, et c'est surtout faux

[Bleyblue]

Ah bon ... ben c'est un student de 1ère année de math qui m'a dit ça donc je me suis dit que c'était sans doute vrai ...

Merci

[moijdikssékool]

mais on peut dire que n'est pas de dans car en l'infini la fonction n'est pas définie (infini)

mais c'est un peu tiré par les cheveux, généralement, on étudie les fonctions de dans

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef591ed4b]

Sur lR, cette fonction est parfaitement continue.

[moijdikssékool]

ca dépend de l'ensemble de définition mais aussi de l'ensemble d'arrivée
par exemple, on peut dire est continue de dans

[Bleyblue]

D'accord merci, j'ai du mal comprendre ce que le student m'a dit

[invitef45cc474]

il a du dire uniformément continue...
x->x² n'est pas uniformément continue sur R

[Bleyblue]

Ah ? Quelle est la différence entre uniformément continu et non uniformément continu ?

Merci

[invitef2853e5d]

Ben regarde

1²=1 2²=4 etc a chaque fois on a ce schéma la, je ne vois aps trop comment ca pourrait changer

[invite3f53d719]

On dit que f est uniformément continue sur I, quand:

pr tt eps>0, il existe alpha>0, tel que pour tout (x,y)€I^2, |x-y|<alpha implique |f(x)-f(y)|<eps

Alors que l'on dit que f continue sur I si:

pr tt eps>0, pour tout (x,y)€I^2, il existe alpha tel que |x-y|<alpha implique |f(x)-f(y)|<eps

La différence essentielle provient de la place des quantificateurs: l'uniformité de la continuité est plus forte que la continuité tout court: en plus d'etre continue, la fonction a une pente "pas trop grande".

[invitef591ed4b]

Une fonction de lR dans lR est uniformément continue si l'image de tout intervalle "petit" reste un intervalle "petit", indépendamment de l'endroit où on choisit l'intervalle initial.

Ce qui n'est pas vrai avec f(x)=x² : l'image d'un petit intervalle centré en x = 1 000 000 est un très grand intervalle.

[invite00411460]

Zazeglu, il faut que tu apprennes quelque chose
Ce n'est pas parce que qqun te dit qqchose que c'est vrai (surtout un élève de première année ). Puisque tu es de Bruxelles il y a des chances que tu sois à l'ULB. Si c'est le cas, tu as déjà du entendre parler du concept du "libre examen" ou libre arbitre.
Enfin voilà, je pense que c'est une chose importante à comprendre.

[invitef591ed4b]

En même temps, s'il n'a pas encore les moyens de vérifier par lui-même la véracité des dires de qqn, il va à priori les croire sur parole

[Bleyblue]

Université libre de Bruxelles, université du libre examen, je connais j'ai même une jolie carte postale avec écrit "vous aurez ma liberté de penser ", en grand, j'aime bcp

Ben en fait j'ai discuté avec le bonhomme et il m'a dit que lors des séances d'exercices, il était tombé sur une démonstration prouvant que x² n'était pas continue partout et que les assistants avaient approuvé.
Maintenant je vois pas pq il m'aurait menti, je ne le connaissais même pas ... j'ai du mal comprendre voilà tout ...

D'accord, merci pour la définition

[inviteab2b41c6]

C'est possible, à condition que tu changes de topologie. Dans ce cas, en effet ca peut être vrai. Mais si tout est "normal", cette fonction est bien continue partout, mais par contre n'est pas uniformément continue sur R tout entier.
En fait, uniforme continuité et continuité sont exactement équivalentes sur des ensembles que l'on appelle des compacts.
Dans R, un compact est simplement un ensemble du type [a,b], ou l'union finie de ce genre d'ensembles.

Pour en revenir à la continuité de x->x^2:
En topologie, on peut se donner une collection de sous ensembles d'un ensemble X vérifiant certains axiomes. C'est ce qu'on appelle une topologie T.
Dans R^n, tu peux montrer qu'une fonction f de X vers Y vérifie que
f^(-1)(ouvert de Y)=ouvert de X
si et seulement si f est continue (idem avec les fermés)
Si on en revient à notre espace topologique, on ne peut plus définir la continuité par des limites ou des epsilon et des lambda, puisque la seule chose que l'on connait sur notre espace topologique, est "quels sont les ouverts, et fermés"
Avec la remarque ci-dessus, on va définir la continuité de la même façon.
Notamment, si je prend R muni de la topologie discrete, Y=(R,Tdiscrete) et que je prend R munie de la topologie usuelle (la topologie engendrée par la valeur absolue) X=(R,Tusuelle)
Alors dans ce cas, ta fonction x^2 n'est pas continue, et c'est même très facile à montrer.

En fait je t'ai donné cet exemple, pour te montrer que c'est possible. Cependant, je doute qu'on voit ca en première année, même en Belgique....

[invitedf667161]

C'est possible, à condition que tu changes de topologie. Dans ce cas, en effet ca peut être vrai. Mais si tout est "normal", cette fonction est bien continue partout, mais par contre n'est pas uniformément continue sur R tout entier.
En fait, uniforme continuité et continuité sont exactement équivalentes sur des ensembles que l'on appelle des compacts.
Dans R, un compact est simplement un ensemble du type [a,b], ou l'union finie de ce genre d'ensembles.

Pour en revenir à la continuité de x->x^2:
En topologie, on peut se donner une collection de sous ensembles d'un ensemble X vérifiant certains axiomes. C'est ce qu'on appelle une topologie T.
Dans R^n, tu peux montrer qu'une fonction f de X vers Y vérifie que
f^(-1)(ouvert de Y)=ouvert de X
si et seulement si f est continue (idem avec les fermés)
Si on en revient à notre espace topologique, on ne peut plus définir la continuité par des limites ou des epsilon et des lambda, puisque la seule chose que l'on connait sur notre espace topologique, est "quels sont les ouverts, et fermés"
Avec la remarque ci-dessus, on va définir la continuité de la même façon.
Notamment, si je prend R muni de la topologie discrete, Y=(R,Tdiscrete) et que je prend R munie de la topologie usuelle (la topologie engendrée par la valeur absolue) X=(R,Tusuelle)
Alors dans ce cas, ta fonction x^2 n'est pas continue, et c'est même très facile à montrer.

En fait je t'ai donné cet exemple, pour te montrer que c'est possible. Cependant, je doute qu'on voit ca en première année, même en Belgique....

Bien dit Quinto. Quand on dit "continue", il faut préciser pour quelles topologie.
Même si le plus souvent on prend pour topologie sur R la topologie usuelle engendrées par les intervalles (ouverts par exemple).

[Bleyblue]

Ca n'est pas simple simple à comprendre en effet ... mais merci bien

[invitee65b1c3d]

En fait, uniforme continuité et continuité sont exactement équivalentes sur des ensembles que l'on appelle des compacts.
Dans R, un compact est simplement un ensemble du type [a,b], ou l'union finie de ce genre d'ensembles.

Ce n'est pas tout à fait exact, dans R un compact est un ensemble fermé borné, et il y a des compact beaucoup plus complexes que des unions finies d'intervalles [a b].
Par exemple l'enemble est compact et poutant il est infini dénombrable, donc pas de la forme union finie de [a,b].

[inviteab2b41c6]

Tu as raison, je n'ai jamais vu ca ainsi...

[moijdikssékool]

les compacts de |R sont les fermés bornés
ton {1/n}U{O} est-il fermé? seule une réunion finie de fermés est automatiquement un fermé
le complémentaire de cet ensemble ne me paraît pas evidemment ouvert...

[invite4793db90]

les compacts de |R sont les fermés bornés
ton {1/n}U{O} est-il fermé? seule une réunion finie de fermés est automatiquement un fermé
le complémentaire de cet ensemble ne me paraît pas evidemment ouvert...

C.B. a raison, les compacts sont parfois plus traîtres qu'on l'imagine!

Pour répondre à ta question: comme, sur IR, un ensemble est fermé s'il contient les limites de ses suites, on voit clairement que {1/n, n>0}U{0} est fermé.

Pire! L'ensemble triadique de Cantor est fermé borné: c'est un compact!

[invitec314d025]

C'est bien un fermé. Il est facile de montrer que cet ensemble et son adhérence sont identiques.

[inviteab2b41c6]

le complémentaire de cet ensemble ne me paraît pas evidemment ouvert...

En fait, le complémentaire, est, sauf erreur
R- union ]1,+oo[ union ]1/(n+1),1/n[, donc une union dénombrable d'ouverts... Donc c'est un ouvert, et l'ensemble annoncé est bien un fermé.

Mais comme il a été dit:
Soit u(n) une suite dans {1/n}U{0}
Elle est soit stationnaire, soit non stationnaire.
Si elle est stationnaire, aucun problème.
Sinon si elle converge c'est forcément vers 0.
Donc cet ensemble est bien fermé.

A+

[invite71c59579]

Je vois pas pourquoi on se pose tant de question sachant que on sait tous que x->x² est parfaitement continue alors pourquoi se poser 28 questions en plus lol

[inviteab2b41c6]

Parce que comme on vient de le dire, ca dépend de la topologie...

[invitec314d025]

Au fait Quinto, tu peux expliquer plus précisément ce qu'est la topologie discrète dont tu as parlé ?

[inviteab2b41c6]

Salut,
oui en fait, ce que j'appelle la topologie discrète est la topologie ou tout ensemble est ouvert (donc fermé).

Ainsi, il est clair que toute fonction de X dans Y munie de la topologie discrète pour les 2, est continue.
Sauf erreur
a+

[invitec314d025]

Je ne suis pas sûr de comprendre. Tu veux dire qu'on peut créer une topologie en choisissant soi-même les ouverts et les fermés ? Si oui, quelles conditions doivent-ils vérifier ? Seulement le complémentaire d'un ouvert est un fermé et réciproquement ?
Et que devient la notion de voisinage ?
Et comment tu définis la continuité ?

Pour moi, f est continue en a, <=> pour tout V voisinage de f(a), f^-1(V) est un voisinage relatif de a

[inviteab2b41c6]

Salut, c'est ca.
Notamment, une topologie T sur X est une collection de parties de P(X) vérifiant:
-Vide et X sont dans T.
-l'union d'ensemble O de T est un ensemble de T.
-L'intersection finie d'ensembles O de T, est un élément de T.

Je pense n'avoir rien oubliés.
Les ensembles O de T sont dit ouverts, leur complémentaires sont les fermés.
On définie la continuité comme tu l'as fait au point a, et de manière plus générale, sur X par f^(-1)(ouvert de Y)=ouvert de X, pour f de X vers Y.
On peut montrer que si f est continue en tout a de X alors c'est équivalent à dire que f est continue sur X.