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Analyse complexe/singularités non isolées



  1. #1
    Quinto

    Analyse complexe/singularités non isolées


    ------

    Salut,
    lorsque l'on essaie de définir la primitive complexe de 1/z on se rend compte qu'il y'a forcément un problème.

    Notamment, on remarque que si on veut définir une primitive de 1/z, on est obligé de faire une coupure dans le plan complexe (usuellement on prend R-).

    On a donc une infinité de singularité pour cette fonction log, qui de plus sont non isolées. (une demi droite)
    Or notre fonction de départ n'avais qu'une seule singularité (et donc isolée) qui était un pôle simple(le pôle 0).

    Je pense que si on a un pôle w d'ordre n fini pour une fonction f, alors f est équivalente en w, à 1/(z-w)^n à une constante multiplicative non nulle près (ie: lim(f*(z-w)^n) est fini et non nul lorsque z tend vers w)
    Ceci se voit facilement avec le développement en série de Laurent de f.
    Je ne sais pas de quelle manière rigoureuse cela marche, mais je suis convaincu, que celà implique qu'une primitive de f ne peut pas alors avoir un pôle d'ordre supérieur à n-1 (peut etre en intégrant terme à terme?)

    En d'autres termes, j'ai l'impression que si on a une fonction f développable en série de Laurent, alors ses primitives auront une singularité non isolée w, si et seulement si le terme 1/z apparait dans le développement en série de Laurent de f.

    Est ce vrai?
    y'a t'il des exemples simplement calculable, autres que celui du log et de 1/z?

    -----

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  3. #2
    martini_bird

    Re : Analyse complexe/singularités non isolées

    Salut,

    Citation Envoyé par Quinto
    Je ne sais pas de quelle manière rigoureuse cela marche, mais je suis convaincu, que celà implique qu'une primitive de f ne peut pas alors avoir un pôle d'ordre supérieur à n-1 (peut etre en intégrant terme à terme?)
    Si tu as un développement de f en série de Laurent autour d'un pôle d'ordre n (pour p<-n les coefficients des zp sont nuls), que le coefficient de 1/z est nul et si tu peux intégrer terme à terme, alors tu as effectivement une primitive admettant un pôle d'ordre n-1. Reste à déterminer quand on peux intégrer terme à terme, mais en se servant des inégalités de Cauchy, ça doit être faisable.

    Citation Envoyé par Quinto
    En d'autres termes, j'ai l'impression que si on a une fonction f développable en série de Laurent, alors ses primitives auront une singularité non isolée w, si et seulement si le terme 1/z apparait dans le développement en série de Laurent de f.
    Est ce vrai?
    Si le coefficient de 1/z est non nul, ça se complique évidemment (logarithmes). Simplement, je n'ai jamais entendu de singularité "non-isolée": je ne sais pas si la demi-droite qu'on ôte peut être considérée comme une singularité. Par contre, on peut étendre le domaine de définition du logarithme sur la surface de Riemann
    associée et 0 représente alors un point de ramification.

    Citation Envoyé par Quinto
    y'a t'il des exemples simplement calculable, autres que celui du log et de 1/z?
    T'es-tu déjà interroger sur les racines complexes, i.e. les fonctions réciproques de x->xn?

    Mathématicalement.

  4. #3
    Quinto

    Re : Analyse complexe/singularités non isolées

    Salut,
    oui c'est vrai, je n'y pense jamais...
    Pourtant c'est défini par le log complexe.
    Merci.
    Cependant je n'ai que peu de connaissances en analyse sur la sphère de Riemann...

  5. #4
    martini_bird

    Re : Analyse complexe/singularités non isolées

    Salut,

    je ne parlais pas de la sphère de Riemann. J'ai eu du mal à trouver mais la surface de Riemann associée au logarithme ressemble à ça:
    http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematic...logsurface.htm

    Il y a un livre (d'un auteur russe) traitant d'analyse complexe et qui expose les surfaces de Riemann avec des illustrations: c'est limpide! Par contre, je ne me souviens pas des références précises: je vais chercher.

    A+

  6. A voir en vidéo sur Futura

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