Une solution proposée sur un autre forum :
Envoyé par Pitou sur les-mathematiques.net
J'énumère les rationnels de:
Je définis une autre suite par :
Il est clair que
Ensuite je définis la fonction
Et alors
Pour le coup, je ne suis pas d'accord avec toi... th est une bijection de R sur ]-1;1[ ouvert. Mais je pense qu'il s'agit d'une faute de frappe.
martini_bird,
Oups, très malheureuse erreur
Tu as bien sûr raison.
Merci Sephi,
j'avais vu que tu as ouvert un fil sur les-mathematiques.net.
Je crois qu'il ne sera pas facile de trouver une solution plus simple.
La méthode générale est, je crois en conclusion, de distinguer certains éléments rationnels et de laisser fixe les irrationnels.
Bravo à tous!
Ps: un volontaire pour un bijection sans point fixe?
Je remplace mon g par racine de g. On peut faire la même manip avec phi proposé sur les-mathematiques.net.
Es-tu certain que ce soit encore une bijection?
g est une bijection de [0;1] dans ]0;1[. La fonction racine est une bijection de ]0;1[ dans ]0;1[. Donc la composée de racine et de g est une bijection de [0;1] dans ]0;1[.
Ok......
Reste à démontrer qu'elle est sans point fixe. (J'ai pas encore fini)
c'est quoi la fonction ? ? ?
ben.. ??
h(1)=1 puisqu'il n'y a pas d'entier naturelle tel que 1/2^n=1 ?
hors h(1) n'est pas dans [0;1[
La fonction n'est donc pas une bijection !!!
Tu ne vois vraiment pas d'entier naturel n tel que 1/2n=1 ? Essaye avec zéro...
C'est celle définie par eljeys. Sinon je te propose une version simplifiée :
f(x) définie de [0;1] vers ]0;1[ telle que
Si x=0 f(x)=1/2;
S'il existe un entier naturel n tel que x=1/2n, f(x)=1/2(n+2) (Ca veut donc dire entre autres, que f(1)=1/4)
Dans tous les autres cas f(x)=x.
J'aurais du me douter que c'était un truc dans ce style... pour répondre désolé, je vais devoir sortir des mathématiques classiques pour rentrer dans la logique pur.. alors vous avez raison selon les bases axiomatiques
mais moi d'une façon plus subtile aussi dans les mathématiques qui n'ont pas encore été inventé... (vous inquiétez pas j'ai l'habitude)
Ne soyez pas choqué.. j'essaye de le démontrer
mon avis est que la fonction f(x)=x^0 n'est pas une bijection car quelque soit x, on a f(x)=0
Bonjour,
Un exemple de bijection de [0..1] dans ]0..1[ (qui ne peut pas être continue comme on l'a dit) :
f(0) = 1/2
f(1) = 1/3
f(1/n) = 1/(n+2) pour n entier >= 2
f(x) = x sinon
Après faire une bijection (qui, elle, peut être continue) de ]0..1[ dans IR c'est pas dur !
ça tiens simplement au fait que la puissance est définit par
a^b=a*a*a.. b fois ...* a
et que sans cette axiome on ne peut pas définir la puissance...
donc a^0= (rien)
et rien ce n'est pas 1...
On peut retrouver un en utilisant des axiomes qui découle de la définition de la puissance, style
a^b=(a^(b+1))/a
mais là encore (a^(b+1)) n'est pas définissable sans l'axiome principale... cherchez bien vous ne trouverez pas..
Le 1 en question n'est pas démontrable.. il n'est pas démontrable que 2^n=1 entraine que n=0.
Il n'est pas démontrable non plus qu'il existe ce n...
bref c'est trés logique...
on décale les fléche de h(x)=x/2 c'est à dire de x sur x/2 à l'infinie.. mais il faut bien un trou au départ.. et c'est le (rien) en question..
Tu dois avoir des gros problemes en maths, si tu ne sais pas que x^0=1 pour x non nul.
Sache que par définition ceci est vrai, et sans baratin...
Ca a déjà été l'objet d'un fil, il me semble.
Certains considèrent que c'est un axiome, d'autres (dont je fais partie) trouvent que c'est purement logique.
En effet, quand je dis xn, pour moi ça veut dire que je multiplie n fois par x. Et ce truc, que je multiplie n fois par x, c'est ce "rien" qu'il reste quand n devient nul. C'est forcément l'élément neutre de la multiplication. Donc ce rien n'est pas zéro, puisque le zéro n'est pas l'élément neutre de la multiplication (et que dans ce cas là, pour tout x et n on aurait xn=0). Je pense qu'on peut y aboutir de manière assez immédiate quelle que soit la définition de la puissance entière qu'on veut prendre.
Par exemple, xa*xb=xa+b. Si b=0, xa*xb=xa+b=xa, donc xb=1.
Enfin, bref... pour moi, mettre en doute le fait que x0=1, c'est comme douter que x+0=x ou que x*0=0.
d'accord si c'est un axiome de base ...
mais c'est axiome n'est pas observable dans la réalité, tout comme
0 pomme, n'est pas de la pomme... Il dépend de l'observateur...
Je n'ai pas de pomme, je ne l'observe pas tant que je n'en ai pas besoin ... et le besoin et propre à l'observateur... d'accord c'est un raisonnement hors math.. mais bon, ça reste mon humble avis, qui est entiérement cohérent en ce qui me concerne..
d'accord mais si je multiplie 1 n fois pas x, il faut bien que je multiplie "n fois" et comment on fait pour multiplier 0 fois ? quand on multiplie 0 fois on ne multiplie pas... ton idée c'est de multiplié 1 par quelque chose.. or tu ne peut définir ce quelque chose sans utiliser le "n fois"
Tu as peut-être raison.. j'aimerai bien qu'on invente une bonne fois pour toute une mathématique qui résolve ce probléme du "0"
tout vient du faite que faire 0 fois quelque chose équivaut à faire 0 fois autre chose... et donc faire 0 fois quelque chose n'est pas définit car il n'est pas uniquement égale à lui même...
Quand tu compte le nombres de pommes, tu fais une addition. Quand tu n'as plus aucun terme dans une addition, il en reste l'élément neutre, c'est à dire zéro.
Quand tu parles de puissances entières, tu comptes les facteurs d'une multiplication. Et quand tu n'as plus aucun facteur dans une multiplication, il en reste l'élément neutre, c'est à dire 1.
Ben c'est simple, non ? Tu laisses ce 1, et tu ne le multiplies par rien du tout. 1 multiplié zéro fois par 5, c'est toujours 1 puisqu'on ne l'a pas multiplié par 5 du tout...
ExactementMais quel problème ? Le cas du zéro est tout à fait cohérent avec le reste. Simplement il faut garder en tête qu'on n'est pas dans le monde de l'addition, mais dans celui de la multiplication. Dans ce monde là, c'est le 1 qui reste quand on a tout enlevé.
J'aurais un bel axiome mais c'est compliqué.. simplement accepté que le tout égale le rien... vous allez me prendre pour un type pas sérieux..
que ce qui tend vers l'infinie se rapproche d'une certaine façon (trés mystrieuse certe) de 0..
enfin ça serait peut être utile d'étudier cela :
poser que :
+inf = 0+
-inf = 0-
+inf=-inf= 0
Une belle description de l'Aplha et de l'Oméga
ça expliquerait qu'on puisse trouver toujours une infinité de réél entre 2 réél, l'infinie et une boucle qui tiens dans un seul réél...
ça coute rien d'essayer..
Au fait, c'est quoi le rapport ? Le fait que xO soit égal à 1 n'empêche en rien de construire la fonction dont on parle, et encore moins celle de µµtt, qui ne fait même pas intervenir la puissance. Ca te pose toujours des problèmes d'avoir une bijection d'un ouvert dans un fermé, ou pas ?
Le problème est le même : qui dit que a*0=0 ?
Et d'ailleurs en physique va donc compresser une grandeur de tel sorte qu'elle soit spontanément égale à 0... peut-on atteindre le big bang, l'immobilité, le zéro absolue, le vide parfait ?? apparament non ..
Rien ne se perd, rien ne se crée tout se transforme..
ben si on accepte que x^0=1 ça marche sinon ça marche pas..
c'est un axiome à ajouter ou pas.. appelons cela plutôt une conviction... le choix des axiomes en mathématique est une suprême liberté..
Ah...
Bon, ben on va essayer quand même.
Ca marche exactement comme la puissance... la puissance est à la multiplication ce que la multiplication est à l'addition, non ? Donc x*n, c'est ajouter n fois x.
Les ajouter à quoi ? A rien, à l'élément neutre de l'addition, à ce qui reste quand on a tout enlevé. x*a+x*b=x*(a+b), donc si b=0, x*a+x*b=x*(a+0)=x*a, donc x*b=0.
Alors maintenant, il va falloir dire pourquoi a+0=a...
Bon, je vais donc essayer une autre méthode... je remplis des paniers avec x pommes. Quand j'ai n paniers, j'ai donc x*n pommes. Si j'ai zéro panier, j'ai donc x*0 pommes. Combien ça fait ?
Mais on s'en fout de l'axiome ! Si ça te pose un problème que x0 fasse 1, tu ajoutes h(1)=1/2 dans ta définition de la fonction d'eljeys, et pis c'est marre.
Ou mieux, tu regardes la fonction proposée par µµtt, et tu verras, y a même pas besoin de savoir ce qu'est une puissance.
C'est le même principe :
on décale d'une valeur à l'autre à l'infinie..
f(0) = 1/2
f(1) = 1/3
f(1/n) = 1/(n+2) pour n entier >= 2
f(x) = x sinon
on remplace les 1/n par des 1/(n+2)
il reste les deux troux à combler 0 et 1 qui ne sont égale à aucun 1/n
avec les valeurs qui manque grace au décalage 1/2 et 1/3
au delà de ça il y a aussi le problème surtout de la définition de la bijection à l'infinie .. dont j'ai déjà pas mal discuté sur un autre forum..
Je n'ai pas de démonstration car ça n'est pas démontrable....
à moins de pensé qu'un infinie est égale à lui même pour qu'on puisse en parler..
Si tu prend un cinéma avec une rangé d'une longueur infinie, remplis de gens.. pourra t'on demandé au premier du rang de faire décaler la rangé et que tout le monde soit assis au final ?
Il y a t'il seulement un final ? c'est trés métaphysique..
je préfére ne pas en débattre..
Euh... je peux quand même me permettre une remarque ?
Si le premier type se lève, et demande au second de se lever pour s'asseoir à sa place, il restera donc une place libre, et les gens du reste de la rangée vont passer l'éternité à changer de place. Il n'y a pas de final puisqu'il n'y a pas un nombre fini de places (c'est pas pour rien que final et fini ont la même racine), du coup il n'y aura jamais quelqu'un qui va être obligé de se lever sans avoir un autre type à sa droite pour lui demander de lui céder sa place.
Là, effectivement on entre dans des considération qui peuvent être un peu plus déstabilisantes au début. Quand on me l'a dit la première fois, j'ai eu du mal à accepter qu'il y ait exactement autant d'éléments dans ]0;1[ que dans R... Mais bon... ça c'est plutôt lié à la définition du concept d'infini. Mais tou reste très cohérent au final.
