Holomorphie

[Bleyblue]

Bonjour,

Si je considère la fonction :



on détermine toute de suite la région d'holomorphie à savoir la droite d'équation y = x

Mais je tente aussi de savoir s'il existe des points où la fonction n'est pas holomorphe et admet néanmoins une dérivée au sens complexe.

Pour déterminer les points ou f est holomoprhe je n'ai eu qu'a étudier la différentiabilité au sens réel et appliquer les équations de Cauchy Riemann mais pour ce dernier point je ne vois pas vraiment à moins d'appliquer tel quel la définition de la dérivabilité mais je n'ai pas fort envie

Une piste ?

merci
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[Bleyblue]

Une fonction étant holomorphe si elle est dérivable au sens complexe et si elle est C1 au sens réel en fait.

Donc trouver un point ou elle est dérivable au sens complexe mais pas holomorphe revient à trouver un point ou elle est dérivable au sens complexe mais pas C1.

Pour qu'elle soit dérivable au sens complexe elle doit être différentiable au sens réel. Cela implique que toutes les dérivées partielles de f en le point existent et sont continues. Elle est donc C1 en ce point

C'est un peu bizarre non ?

merci

[invite57a1e779]

Pour qu'elle soit dérivable au sens complexe elle doit être différentiable au sens réel. Cela implique que toutes les dérivées partielles de f en le point existent et sont continues.

Une fonction peut très bien être différentiable au sens réel sans que ses dérivées partielles ne soient continues.

[Bleyblue]

Ah tiens ? Pourtant dans mon cours d'analyse de l'an dernier je me souviens avoir étudier une théorème affirmant que si les dérivées partielles existaient et étaient continuent en a alors la fonction était d'office différentiable en a

merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Ah tiens ? Pourtant dans mon cours d'analyse de l'an dernier je me souviens avoir étudier une théorème affirmant que si les dérivées partielles existaient et étaient continuent en a alors la fonction était d'office différentiable en a

merci

Oui, mais la réciproque n'est pas vraie, la fonction peut être différentiable sans que les dérivées partielles soient continues.

[invite4ef352d8]

Bonsoir !

Un petit résumé

une fonction est dérivable au sens complexe si (f(z+h)-f(h))/h converge quand h->0. c'est imédiatement équivalent à dire que la fonction (x,y)->f(x+iy) est différentiable au sens réel et qu'elle vérifie les condition de Cauchy-Riemann (ou encore que sa différentielle est une application conforme du plan...)



Une fonction est Holomorphe en a si elle est dérivable au sens complexe dans un voisinage de a (donc il faut déja qu'elle soit définit, ou au moins qu'elle puisse ce prolonger au voisinage de a...).

Je sais pas trop ou tu as entendu le C1 au sens réel (ce qui signifie différentiable, et de dont la différentielle varie continuement), mais normalement, c'est juste une hypothese intermédiaire qu'on élimine par la suite.

sinon pour ta fonction, elle est partous différentiable, donc c'est equivalent de chercher si elle vérifie les condition de cauchy rieman ou si elle à une dérivé au sens complexe. et vu que le domaine que tu trouve est d'intérieur vide, elle est nulle part holomorphe.

[Bleyblue]

Oui, mais la réciproque n'est pas vraie, la fonction peut être différentiable sans que les dérivées partielles soient continues.

Mince, quel âne je fais

Je sais pas trop ou tu as entendu le C1 au sens réel (ce qui signifie différentiable, et de dont la différentielle varie continuement), mais normalement, c'est juste une hypothese intermédiaire qu'on élimine par la suite.

Ah non c'est écris noir sur blanc dans mon cours. Holo = diff au sens complexe ET C1.
C'est bizarre, la terminologie diffère peut-être ...

Mais la je suis sur un exercice où on demande de trouver le domaine d'holomorphie et ensuite de trouver les points éventuels ou la fonction admet une dérivée mais n'est pas holomorphe.

Mais bon si on ne part pas sur la même définition d'holomorphie

merci

[invite57a1e779]

Ah non c'est écris noir sur blanc dans mon cours. Holo = diff au sens complexe ET C1.
C'est bizarre, la terminologie diffère peut-être ...
Mais bon si on ne part pas sur la même définition d'holomorphie

On reprend, pour mettre au point le résumé de Ksilver.

Tu pars de .
Au sens réel, admet les dérivées partielles et qui sont continues dans tout le plan complexe, donc est de classe au sens réel.

Elle est dérivable, au sens complexe, aux points en lesquels sont satisfaites les conditions de Cauchy-Riemann, donc sur la diagonale d'équation , la dérivée complexe étant .

La définition classique du domaine d'holomorphie est : l'intérieur de l'ensemble sur lequel est dérivable au sens complexe. Dans ton cas, l'intérieur de la diagonale est vide. On peut alors montrer que est nécessairement continue sur le domaine d'holomorphie, donc que est de classe au sens complexe.

On peut t'avoir défini directement le domaine d'holomorphie avec la condition , et alors il peut te sembler que la condition est satisfaite sur la diagonale, mais n'est pas holomorphe sur la diagonale, parce que l'on exige toujours de travailler sur un ouvert pour définir les fonctions holomorphes.
Ta définition , "holomorphe = différentiable au sens complexe et ", doit supposer définie sur un ouvert, ce qui n'est pas le cas de la diagonale.

[Bleyblue]

D'accord je comprend.

Mais ce que je ne vois pas bien c'est si j'ai une fonction complexe f, comment dois-je faire pour savoir s'il existe des points ou elle admet une dérivée f'(z) mais ou elle n'est malgré tout pas holomorphe ? C'est ça qui me laisse perplexe ...

merci beaucoup !

[Bleyblue]

Je sais pas trop ou tu as entendu le C1 au sens réel (ce qui signifie différentiable, et de dont la différentielle varie continuement), mais normalement, c'est juste une hypothese intermédiaire qu'on élimine par la suite.

Tout a fait, je l'ai lu la tantôt dans le cours.
Mais le prof ne l'a pas mentionné au cours oral donc je ne savais pas.

merci