Matrice [exo]

[invite4c8f7e37]

salut, je suis entrain de faire l'exo suivant :

Soit défini par sa matrice dans la base canonique

avec

Déterminer ,

Calculer la matrice dans la nouvelle base

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on détermine Ker(f) :



X= (a,b,c) (en colonne)

revient à résoudre le système suivant :





d'ou :

Donc Ker(f) ={(a,b,c) / a = -b-c , b = b, c = c} Ker(f) = {(-b-c,b,c) / a réel, réel}
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[invite4c8f7e37]

Pour déterminer Im(f), en fait il faut reprendre le même système en posant au lieu des 0, (X,Y,Z) non ?

[invitec053041c]

a,b,c sont des nombres fixés. Donc je ne vois pas pourquoi tu prends X=(a,b,c)...?

C'est comme si je te donnais la matrice M:
(1 2 3)
(2 1 3)
(7 4 3) et tu dis, je résouds:

1+2+3=0
2+1+3=0
7+4+3=0

Ca n'a pas de sens..

Ce que tu dois résoudre, c'est une quation en (x,y,z), celle-ci:

ax+by+cz=0
bx+cy+az=0
cx+ay+bz=0

[invite4c8f7e37]

ah ok, donc dans ce cas là on a x=0 , y=0 , z=0

Donc Kerf = {(x,y,z) / x=y=z=0} = {0}

Sinon, pour trouver Imf :

ax+by+cz=X
bx+cy+az=Y
cx+ay+bz=Z

et on résoud non ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebb921944]

Je suis bien curieux de savoir comment tu as résolu ton système pour trouver x=y=z= sans plus de détails...

[invitebb921944]

Un exemple tout bête :
si a=b=c=1.
On a MX=0 qui entraîne x+y+z=0.
Le vecteur non nul (-1,1,0) convient et kerf n'est pas réduit à 0.