etude d'un objet fractal

[invite152a412d]

Bonjour a tous!

Voila je suis en plein exo de math a propos d'objet fractal.

En fait on part d'un triangle equilatéral de longueur et pour l'étape suivante on ajoute à chaque côté un triangle equilatérale de longueur d/3.On nous demande de déterminer une suite qui permet de déterminer le périmetre de cet obejt et une autre suite pour déterminer l'aire.

Si vous n'avez pas compris ça ne fait rien.C'est juste que j'ai trouvé que le périmetre de cet objet était de plus en plus grand a chaque étape et qu'il tendait vers l'infini alor que l'aire elle est fini.
Esc-ce ça un objet fractal?
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[invite35452583]

C'est bien un objet fractal, le périmètre est bien infini, l'aire reste finie. Ça j'en suis totalement sûr.

Ces deux derniers points sont vérifiées par toutes les courbes fractales dans un plan, je pense. Par contre , je ne pense pas que ça en soit une définition.

[invite152a412d]

dacord dacord
merci pour l'info

[danyvio]

Il faut peut-être entamer une démo, sinon le prof' ne se contentera pas de simples affirmations.

A chaque "tour", on multiplie par 4 le nombre de côtés, chaque côté nouveau valant 1/3 du côté transformé. L'expliquer (c'est simple) et en déduire ce qu'il faut pour le périmètre.
A chaque tour, on "greffe" sur chaque "ancien" côté (de longueur c) un triangle d'aire c * /4.
Le justifier et en déduire ce qu'il faut pour l'aire.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite152a412d]

oui mais c'est bon j'ai trouvé les résultats je trouve bien une limite infini pour le périmetre et pour l'aire la suite converge vers [2d²*(3)^(1/2)]/5
C'est juste que le résultat m'a interpelé

[invite360385f3]

Petite question probablement stupide vu mon niveau de math^^ mais comment ça se fait que l'on puisse définir l'aire alors que le périmétre est infini ?

[invite152a412d]

ouhla!!
Bonne question et c'est pour ça que j'ai lancé cette discussion.Quand je me suis retrouvé avec ce résultat j'ai tout revérifié étape par étape pour voir ou je m'étais trompé car pour moi c'était certain qu'il y avait une erreure.
Mais en cherchant sur internet j'ai vu que c'était possible mais de là à l'expliqué aklors là j'en suis incapable...
Comme quoi même avec plusieurs années de maths derrière soi on peu toujours être etonné

[invite360385f3]

lol en effet, avec ce genre de situation il y a de quoi être surpris^^

[invitebfd92313]

le périmètre n'est pas infini, il tend vers l'infini, donc l'aire est toujours définie meme pour un perimetre tres grand.

[Médiat]

le périmètre n'est pas infini, il tend vers l'infini, donc l'aire est toujours définie meme pour un perimetre tres grand.

Pour une famille de courbe, indexée par un entier par exemple, on peut dire que le périmètre tend vers l'infini quand l'indice tend vers l'infini, mais pas pour une courbe.

[invitebfd92313]

oui c'est bien pour ca que je dis que pour chaque courbe de la famille en question l'aire est bien définie il n'y a pas de périmètre "infini", étant donné un entier quelconque le périmètre correspondant sera fini.

[inviteaeeb6d8b]

J'avais fait un calcul similaire il y a quelque temps. En fait, le truc repose sur le fait que la série liée au périmètre est divergente mais celle liée à l'aire converge. Et dans certains cas, c'est normal.
Par exemple :
Si on rajoute des carrés de plus en plus petits (côté 1/n) alors la série du périmètre diverge, mais celle de l'aire (terme général en 1/n²) converge.

Romain

[Médiat]

oui c'est bien pour ca que je dis que pour chaque courbe de la famille en question l'aire est bien définie il n'y a pas de périmètre "infini", étant donné un entier quelconque le périmètre correspondant sera fini.

Reste donc la question : quid de la courbe limite, si courbe limite il y a ?

[invite35452583]

Pour l'exemple de yogodo, cette courbe limite existe évidemment et est très connu, c'est le flocon de Koch (j'aurais dû commencer par ça).

[Médiat]

Pour l'exemple de yogodo, cette courbe limite existe évidemment et est très connu, c'est le flocon de Koch (j'aurais dû commencer par ça).

Oeuf Corse .
Je voulais attirer l'attention sur la difficulté à définir le périmètre d'une courbe et sur l'erreur qui consiste à penser que la limite du périmètre est le périmètre de la limite.

Exemple super-connu :

• On part d'un triangle équilatéral de côté 1
• On remplace un des côtés par deux triangles équilatéraux côte à côte
• On itère (pour obtenir une lame de scie avec de plus en plus de dents, de plus en plus petites)

La longueur de la courbe en dents de scie est constante : 2
La limite de la courbe est le côté de départ donc de longueur 1.