Ouvert de Zariski
Si f est un polynome de A[X1,X2,...Xn] qui s'annule en tout point d'un
ouvert de Zariski de A^n et si A est un anneau commutatif intègre ,infini,
alors f est le polynome nul.(ouvert non vide bien sur).
je ne parviens pas à établir ce résultat. Merci pour votre aide.
Bien cordialement
Désolé!, j'ai oublié une hypothèse essentielle:A est supposé noethérien.
Cordialement
A mon avis, ça fonctionne ainsi :
f s'annule sur un ouvert de Zariski donc sur le complémentaire d'un V(I)={x; pour tout g dans I, g(x)=0}
A étant noethérien A[X1,...,Xn] l'est. Ceci permet de montrer qu'un polynôme F multiple de f est nul sur An tout entier.
L'hypothèse A infini (et intègre ?) permet de conclure que F est le polynôme nul.
L'intégrité permet de conclure que f est le polynôme nul.
Re : Ouvert de Zariski
Merci à Homotopie pour ses précieuses explications.
Voilà ce que j'en ai déduit:
Si f(x)=0 pour tout x de A^n-V(I),alors V(I)est différent de A^n, sinon l' ouvert sur lequel f s'annule serait vide.
Il existe donc g élément de I ,polynome non nul de A[X1,X2,...,Xn],s'annulant
sur V(I).
Le polynome F=f*g s'annule pour tout x de A^n (car A est commutatif).
Puisque A est intègre et infini F est nécessairement le polynome nul.
A[X1,X2,...,Xn] est intègre comme A et l'on a (f*g=0 et g non nul) .fest donc
le polynome nul.
Ceci me semble "coller" et dans ce cas l'hypothèse A noethérien est inutile.
Qu'en penses-tu?
Bien cordialement.
Oups je l'avais oublié ce fil.
Ça semble "coller" comme tu dis. L'hypothèse "nœtherien" semble en effet inutile.
