Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 5 sur 5

Ouvert de Zariski



  1. #1
    mylou 2

    Cool Ouvert de Zariski


    ------

    Si f est un polynome de A[X1,X2,...Xn] qui s'annule en tout point d'un

    ouvert de Zariski de A^n et si A est un anneau commutatif intègre ,infini,

    alors f est le polynome nul.(ouvert non vide bien sur).

    je ne parviens pas à établir ce résultat. Merci pour votre aide.

    Bien cordialement

    -----

  2. #2
    mylou 2

    Re : Ouvert de Zariski

    Désolé!, j'ai oublié une hypothèse essentielle:A est supposé noethérien.


    Cordialement

  3. #3
    homotopie

    Re : Ouvert de Zariski

    A mon avis, ça fonctionne ainsi :
    f s'annule sur un ouvert de Zariski donc sur le complémentaire d'un V(I)={x; pour tout g dans I, g(x)=0}
    A étant noethérien A[X1,...,Xn] l'est. Ceci permet de montrer qu'un polynôme F multiple de f est nul sur An tout entier.
    L'hypothèse A infini (et intègre ?) permet de conclure que F est le polynôme nul.
    L'intégrité permet de conclure que f est le polynôme nul.

  4. #4
    mylou 2

    Cool Re : Ouvert de Zariski

    Merci à Homotopie pour ses précieuses explications.

    Voilà ce que j'en ai déduit:

    Si f(x)=0 pour tout x de A^n-V(I),alors V(I)est différent de A^n, sinon l' ouvert sur lequel f s'annule serait vide.

    Il existe donc g élément de I ,polynome non nul de A[X1,X2,...,Xn],s'annulant
    sur V(I).

    Le polynome F=f*g s'annule pour tout x de A^n (car A est commutatif).
    Puisque A est intègre et infini F est nécessairement le polynome nul.
    A[X1,X2,...,Xn] est intègre comme A et l'on a (f*g=0 et g non nul) .fest donc
    le polynome nul.

    Ceci me semble "coller" et dans ce cas l'hypothèse A noethérien est inutile.

    Qu'en penses-tu?

    Bien cordialement.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    homotopie

    Re : Ouvert de Zariski

    Oups je l'avais oublié ce fil.
    Ça semble "coller" comme tu dis. L'hypothèse "nœtherien" semble en effet inutile.

Discussions similaires

  1. Qu'est-ce que le charme ouvert?
    Par KIAaze dans le forum Physique
    Réponses: 3
    Dernier message: 25/09/2007, 10h55
  2. gl(n;r) ouvert ????
    Par aldebaran05 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 20
    Dernier message: 11/08/2007, 00h02
  3. Un ouvert de Rn[X]
    Par Gpadide dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 44
    Dernier message: 16/01/2007, 11h01
  4. probleme ouvert
    Par Mathieu38 dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 3
    Dernier message: 04/12/2006, 19h27
  5. Pbm ouvert
    Par Nessbeal dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 7
    Dernier message: 16/10/2006, 20h25