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gl(n;r) ouvert ????



  1. #1
    aldebaran05

    gl(n;r) ouvert ????


    ------

    bonjours
    j'aimerais demonter que l'espace gl(n,r) est une sous variete ouverte de R^n^2 pour cela je dois apliquer le theoreme de plongement de withney mais comment je peux demontere que c'est un ouvert de l'espace R^n^2 SI est ce que vous pouurriez m'orienter un peux
    merci

    -----

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  3. #2
    indian58

    Re : gl(n;r) ouvert ????

    GL(n, R) est un ouvert car c'est l'image reciproque de R* (qui est ouvert) par la fonction determinant ( qui est continue).

  4. #3
    Mahow

    Re : gl(n;r) ouvert ????

    Aldebaran05 ==> tu dis que GL ( n ,r ) est une sous variété de R^n^2 ... je ne comprends pas pourquoi ...

    As tu suivi ce raisonnement (?) :

    R^n désigne l'ensemble des n-uplet à coefficient dans R
    donc R^n ² désigne un "tableau" des n-uplet à coefficient dans R.
    et GL ( n , r) désigne un ensemble de Tableau (fini) ... euh .... na je vois pas ton raisonnement dsl

    Pourrais tu m'éclairer ?

  5. #4
    GuYem

    Re : gl(n;r) ouvert ????

    Salut,

    Aldebaran n'a pas montré que GLn est une sous variété de Mn.

    Il veut tout d'abord montrer que GLn est ouvert dans Mn et ensuite utiliser le théorème de Withney pour conclure que GLn est bien une sous variété.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  6. #5
    kron

    Re : gl(n;r) ouvert ????

    J'ai rien dit pour l'instant
    Dernière modification par kron ; 10/08/2007 à 17h14. Motif: correction
    Life is music !

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    aldebaran05

    Re : gl(n;r) ouvert ????

    non ce que j'ai dis est que GL(n,r) est une variete du fait que il exist un diffeomorphysime mais ce que je veux montrer que c'est un ouvert de R^N^2

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  10. #7
    aldebaran05

    Re : gl(n;r) ouvert ????

    Citation Envoyé par kron Voir le message
    J'ai rien dit pour l'instant
    exacte alors comment je peux montrer que c'est un ouvert de R^n^2

  11. #8
    martini_bird

    Re : gl(n;r) ouvert ????

    Salut,
    Citation Envoyé par aldebaran05 Voir le message
    exacte alors comment je peux montrer que c'est un ouvert de R^n^2
    Il suffit de savoir lire (message #2).

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  12. #9
    FonKy-

    Re : gl(n;r) ouvert ????

    Citation Envoyé par indian58 Voir le message
    GL(n, R) est un ouvert car c'est l'image reciproque de R* (qui est ouvert) par la fonction determinant ( qui est continue).
    Quelqu'un peu détailler ce propos intéressant, merci

    FonKy-

  13. #10
    martini_bird

    Re : gl(n;r) ouvert ????

    Citation Envoyé par FonKy- Voir le message
    Quelqu'un peu détailler ce propos intéressant, merci

    FonKy-
    Presque par définition, l'image réciproque d'un ouvert par une fonction continue est un ouvert...

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  14. #11
    Mahow

    Re : gl(n;r) ouvert ????

    Sans trop etre embetant : pourrais t-on m'en dire plus sur ce théorème ??? (siouuuplééé)

    Tyndra. (fuyant sous sa cape noire dans un monde de brume...)

  15. #12
    FonKy-

    Re : gl(n;r) ouvert ????

    Citation Envoyé par martini_bird Voir le message
    Presque par définition, l'image réciproque d'un ouvert par une fonction continue est un ouvert...

    Cordialement.
    oui mais comment etre sur quil sagisse de la fonction determinant ? =)

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  17. #13
    Gwyddon

    Re : gl(n;r) ouvert ????

    C'est issu d'un théorème général : soit f une fonction continue d'un espace topologique E vers un espace topologique F.

    Alors l'image réciproque d'un ouvert de F est un ouvert de E, l'image réciproque d'un fermé de F est un ouvert de E.

    Démonstration :


    soit f : E -> F continue.

    Je rappelle que cela signifie que pour tout a dans E, on a :

    pour tout V voisinage de f(a), il existe un voisinage W de a tel que

    Je rappelle qu'un ouvert A d'un espace topologique est tel que pour tout élément x de A, il existe un voisinage B de x inclu dans A.



    Soit M un ouvert de F, et .

    Soit . Alors . Or M est ouvert : il existe V voisinage de f(a) tel que .

    Mais f continue en a : il existe donc un voisinage W de a tel que .

    Donc pour tout élément x de W on a ce qui signifie que , donc : N est donc bien un ouvert de E.


    La démo est identique dans l'idée pour les fermés.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  18. #14
    Gwyddon

    Re : gl(n;r) ouvert ????

    Citation Envoyé par FonKy- Voir le message
    oui mais comment etre sur quil sagisse de la fonction determinant ? =)
    La fonction dét est bien continue car (multi)linéaire en dimension finie
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  19. #15
    FonKy-

    Re : gl(n;r) ouvert ????

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    La fonction dét est bien continue car (multi)linéaire en dimension finie
    Il ne doit pas y avoir une bijection ?

    Sinon question, comment vous démontreriez que R est un ouvert =)
    Est-ce que je peux dire par exemple que le complémentaire est l'ensemble vide ? qui serait alors fermé ( mais comment le prouver ? c naturel ?)
    On peut sans doute l'établir par la carac sequentielle aussi, mais n'y a t-il pas un soucis avec la limite de la suite si elle se trouve dans /R ( avec les infinis)
    Sinon on peut ptet dire comme le fait gwyddon qu'il existe toujours un voisinage et qu'il existe toujours un x +/- epsilon, mais si on le dit naturellement comme ca est-ce assez justifier.
    Enfin ya la méthode image reciproque ? mais ici avec quoi
    Si vous connaisser d'autres méthodes d'ailleurs ca m'interesse car il me semble quil en reste une.
    Ces question ont juste pour but de me faire reviser

    Merci, FonKy-

  20. #16
    Gwyddon

    Re : gl(n;r) ouvert ????

    Citation Envoyé par FonKy- Voir le message
    Il ne doit pas y avoir une bijection ?

    Sinon question, comment vous démontreriez que R est un ouvert =)
    Pour la topologie naturelle sur IR, IR est par définition un ouvert (et un fermé au passage), tout comme l'ensemble vide.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  21. #17
    aldebaran05

    Re : gl(n;r) ouvert ????

    Citation Envoyé par martini_bird Voir le message
    Salut,

    Il suffit de savoir lire (message #2).

    Cordialement.
    ça j'ai compris mais pourrais tu me demontrer que c'est un sous ensemble de R^n^2 merci

  22. #18
    martini_bird

    Re : gl(n;r) ouvert ????

    Citation Envoyé par aldebaran05 Voir le message
    ça j'ai compris mais pourrais tu me demontrer que c'est un sous ensemble de R^n^2 merci
    GL(n, R) est le groupe des éléments inversibles de l'anneau des matrices carrés (à coeff réels). Or a une structure naturelle de R-espace vectoriel, de dimension , donc isomorphe en tant que tel à .

    Via cet isomorphisme, GL(n, R) s'identifie donc à un sous-ensemble de .

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

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  24. #19
    FonKy-

    Re : gl(n;r) ouvert ????

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    (et un fermé au passage)
    Il est fermé aussi ?

  25. #20
    Gwyddon

    Re : gl(n;r) ouvert ????

    pour la topologie naturelle sur est effectivement un fermé, tout comme l'ensemble vide qui est aussi à la fois ouvert et fermé.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  26. #21
    aldebaran05

    Re : gl(n;r) ouvert ????

    Citation Envoyé par martini_bird Voir le message
    GL(n, R) est le groupe des éléments inversibles de l'anneau des matrices carrés (à coeff réels). Or a une structure naturelle de R-espace vectoriel, de dimension , donc isomorphe en tant que tel à .

    Via cet isomorphisme, GL(n, R) s'identifie donc à un sous-ensemble de .

    Cordialement.
    merci maintenant je suis convaicue je peux resoudre mon exercice point par point

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