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problème d'extrema



  1. #1
    jameso

    problème d'extrema


    ------

    bonjour,
    j'ai un petit souçi sur un exo ,et j'aurai aimé avoir votre point de vue:

    on considère f de R² dans R définie par
    f(x)=x^4 +y^4 -2(x-y)²

    la question est de trouver les extrema locaux de f
    puis de trouver le maxima et le minima sur le pavé [0,2]*[0,2]

    je cherche les points critiques de f et après quelques calculs fastidieux je trouve trois points : (0,0) ; (-sqrt(2),sqrt(2))
    et (sqrt(2),-sqrt(2)) qui semblent fonctionner

    je regarde ensuite la matrice hessienne que j'évalue en les points ci dessus
    je trouve pour l'origine les val propres 0 et 4: matrice positive mais on ne peut rien dire de ce point je crois

    pour les deus autres couples
    je trouve la même matrice définie positive (val prores 16 et 24)
    j'en conclus à l'existence de deux minimas locaux mais je n'ai pas trouvé de max local???
    de plus mes points ne sont pas dans le pavé du texte?
    ai-je tout les points critiques à bord?




    merci
    james

    -----

  2. #2
    Quinto

    Re : problème d'extrema

    Salut,
    ta question est de trouver tous les extremas locaux de f, puis de trouver ensuite les extrema de f sur le pavé.

    Pour la premiere question, rien ne prédit qu'ils existent.
    Si tu n'obtiens rien avec la matrice hessienne, peut etre que tu peux regarder ce qui se passe si tu fais f(x+h)-f(x), ce qui te donnera aussi la réponse.

    Pour la 2e question, tu as une fonction qui est continue sur le compact K=[0,2]², en particulier, cette fonction admet un maximum et un minimun sur K. (continue sur un compact)

    (note au passage que f(x,y)=x^4+y^4-2(x-y)² et pas f(x)=x^4+y^4-2(x-y)², mais ca c'était juste pour te titiller)

    Ensuite tes extrema ne sont pas dans le pavé du texte, mais c'est pas grave, on a jamais demandé à ce qu'ils y soient...

    Ensuite on te demande les extrema dans le pavé.
    Question intermédiaire: est ce que les extrema peuvent etre dans l'interieur de K?
    Réponse: S'ils sont dans l'intérieur de K, que je note K', alors comme K' est un ouvert de R², il existerait un voisinage de ces points dans lequel ils seraient des extrema, et donc cela signifie par définition qu'ils seraient des extrema locaux. Or on a trouvé que les extremas locaux N'étaient PAS dans le pavé K. Donc on a aucun extremum dans K'. Or le théorème nous dit que sur un compact on atteint les extrema, donc comme c'est pas sur K' c'est sur K-K'. Mais K-K' est tout simplement le bord de ton pavé. Autrement dit, il te suffit de parametrer tes bords de pavés:
    le segment y=0 0<=x<=2
    le segment y=2 0<=x<=2
    le segment x=0 0<=y<=2
    le segment x=2 0<=y<=2
    Il suffit de regarder les valeurs de f sur ces 4 segments, le maximum de f sera bien entendu le maximum, des 4 maxima obtenus (la aussi on sait qu'ils existent, car ce sont des segments de R, donc des compacts)
    Note que maintenant il s'agit simplement de trouver les extrema de fonction à une variable...
    Bonne chance.
    A+
    Quinto

  3. #3
    cricri

    Re : problème d'extrema

    (y-x)² >0 donc faut ce terme s annule
    max pour (2 2)=32 non ?

  4. #4
    jameso

    Re : problème d'extrema

    salut quinto,(qui est vigilant sur tout )
    les choses se sont éclaircies grâce à tes remarques et la prochaine fois j'essaierai de réfléchir un peu plus avant de foncer tête baissée dans les calculs de point critiques et de matrices hessiennes

    je trouve pareil que cricri max pour(2,2) =32

    voila ,merci à tous les deux,
    amicalement
    james
    Dernière modification par jameso ; 22/12/2004 à 15h48.

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