Défi fonctionnel

[invite3240c37d]

Bonsoir ami(e)s des maths, voici un problème sympa :
Soit . Trouver toutes les fonctions telles que :
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[invitea07f6506]

Soit f une solution qui vérifie cette équation fonctionnelle. f est nécessairement croissante.

Si f est C1, alors f est nécessairement la fonction nulle. En effet, on remarque que f'(x)>=f(x)^a, a>1, d'où f tend vers l'infini en temps fini si elle est non nulle en un point.

Il reste à voir le cas où f est moins régulière.

[invite3240c37d]

....Il reste à voir le cas où f est moins régulière.

That's the question !

[invitea07f6506]

Grumf.

En supposant que l'ensemble des points de discontinuité de f n'a pas de point d'accumulation, j'arrive à minorer f par une exponentielle, mais ça ne diverge pas assez vite si je souhaite montrer que si f est non nulle, alors elle explose en temps fini.

Ce que j'ai fait (y plus grand que x dans ce qui suit) :

* En prenant puis en utilisant l'inégalité pour tout k, avec un pas de 1/n, puis en passant à la limite pour n (intégrale de Riemann) :



* Ensuite, en réinjectant l'inégalité initiale sous l'intégrale et en utilisant la convexité de l'application qui à x associe x^a, puis en itérant le procédé, on obtient un polynôme en y à droite, dont le degré (n) croît de 1 à chaque itération du procédé. En passant à la limite pour n, on reconnaît le développement en série entière d'un exponentielle, soit :



C'est déjà pas mal, mais j'ai l'impression de m'être engagé dans une impasse...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3240c37d]

.. C'est déjà pas mal, mais j'ai l'impression de m'être engagé dans une impasse...

Je le crois aussi ..
Petite indication . Commencer avec : .. and so on ...

[invitea07f6506]

Ah OK, en fait c'est tout bête. Je laisse le soin à d'autres de rédiger s'ils en ont envie, pour moi c'est bon