Calcul sur les sous-ensemble

[invitebcc0a73f]

Bonjour, j'ai une question sur les sous-ensembles que je n'arrive pas à résoudre. Pourriez-vous m'aider?
Voici cet exercice :
A∩B = A∩C
A+B = A+C
B ⊂ C

Montrer que B = C.
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[invite57a1e779]

Qu'est-ce que la somme de deux sous-ensembles (notation A+B) ?

[invitebcc0a73f]

Dans mon cours c'est écrit que c'est une loi de composition interne de K-espace vectoriel.

A, B et C sont des sous-ensemble vectoriels.

[invite727dc7fd]

Il manque seulement l'inclusion de C dans B.

Alors à priori, si tu prends c dans C, comme A+B=A+C, il existe (a,b) appartenant à AxB tel que c=a+b...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebcc0a73f]

Voilà ce que j'ai trouvé sur Wikipédia.

[invitebcc0a73f]

Il manque seulement l'inclusion de C dans B.

Alors à priori, si tu prends c dans C, comme A+B=A+C, il existe (a,b) appartenant à AxB tel que c=a+b...

Je ne vois pas comment on peut continuer.

[invite727dc7fd]

... je continue ce que je disais, mais je ne suis pas sûr de moi à 100%...
Donc on disait c=a+b, donc a=c-b
mais A∩B = A∩C
donc -b=c
donc c appartient à B
donc C est inclus dans B
donc C=B
donc c'est gagné!

Mais ne prends pas ce que je dis au pied de la lettre, il y a un passage dont je ne suis pas vraiment sûr...

[invitebcc0a73f]

mais A∩B = A∩C
donc -b=c

Je pense que c'est ce passage là dont tu n'es pas sur.

[invite57a1e779]

Je pense que c'est ce passage là dont tu n'es pas sur.

Il faudrait peut-être utiliser l'hypothèse , non ?

[invite727dc7fd]

Désolé, j'ai dit des bêêêtises...

Alors, deuxième essai!

Soit c appartenant à C.

donc c appartient à A+C
donc c appartient à A+B
donc il existe (a,b) appartenant à AxB tel que a+b=c
mais B est inclus dans C, donc b appartient à C
et a=c-b, avec c et b appartenant tous deux à C
donc a appartient à C
donc a apparient à A∩C
donc a appartient à A∩B
donc a appartient à B
donc c-b appartient à B
donc il existe b' appartenant à B tels que c-b=b'
donc c=b'+b
mais b et b' appartiennent tous deux à B
donc c appartient à B

Donc C est inclus dans B
Donc B=C

Hallelujah!

et désolé pour avoir flingué l'exercice en première approche...

(et promis, un jour je me mets au LateX)

[invite57a1e779]

...
a=c-b
...
donc il existe b' appartenant à B tels que c-b=b'
...

Très bonne démonstration, mais pourquoi donc appeler b' ce qui s'appelait a jusque là ?

[invite727dc7fd]

Parce qu'en fait, mais c'est juste entre nous, a a un dédoublement de personnalité qui fait que selon l'alignement de Neptune et d'Uranus, il peut aussi s'appeler b'...
Non sérieusement je n'ai pas fait attention. (j'ai honte, mon professeur de maths prêche le "contrôle" des calculs...)

[invitebcc0a73f]

Merci bien pour votre aide.

[invitebcc0a73f]

Sur des exemples montrer que ce résultat devient faux lorsqu'une des 3 hypothèses est absente.

En fait je ne vois pas ce que représente concrètement A+B=A+C.

J'ai dit que si la première hypothèse (A∩B = A∩C) n'était pas vérifié j'ai pris pour exemple :







Je voudrais savoir si cela prouve que .

Sinon je ne vois pas comment faire le cas ou c'est l'hypothèse A+B=A+C qui n'est pas vérifié.

[inviteaeeb6d8b]

J'ai dit que si la première hypothèse (A∩B = A∩C) n'était pas vérifié j'ai pris pour exemple :







Je voudrais savoir si cela prouve que .

Sinon je ne vois pas comment faire le cas ou c'est l'hypothèse A+B=A+C qui n'est pas vérifié.

Dans ton exemple, on a bien la non égalité des intersections,
et on a bien A+B = A+C, et on a bien B inclus dans C.
Donc, c'est OK.
et on voit bien que B est différent de C... mais cela ne le prouve pas !

Par contre, ton ensemble C n'est pas un espace vectoriel !

Le résultat que tu as démontré est :
Si j'ai les hypothèses (1), (2) et (3) alors j'ai (4).
L'idée des contre-exemples, c'est de montrer que ces hypothèses sont minimales. Si tu en enlèves une, tu n'as plus le résultat.

Solution avec des espaces vectoriels :
A=R
B=0
C=Q
L'hypothèse d'intersection n'est pas vérifiée.

Pour le dernier contre-exemple, c'est immédiat : si B n'est pas inclus dans C, il n'y aura jamais égalité. (ça ne sert à rien de chercher un contre exemple en fait.)

Pour la somme :
A=Q
B=Q
C=R
alors A+B=Q et A+C=R donc il n'y a pas égalité des sommes. Par contre il y a égalité des intersections (c'est Q) et B est bien inclus dans C.

Romain

[invitebcc0a73f]

Merci je n'avais pas pensé à prendre des ensembles complets.

[inviteaeeb6d8b]

Merci je n'avais pas pensé à prendre des ensembles complets.

hmmm... Q n'est pas complet il me semble (mais R l'est).

C'est surtout qu'il faut que ce soit des espaces vectoriels donc t'as pas trop le choix !

[invitebcc0a73f]

hmmm... Q n'est pas complet il me semble (mais R l'est).

C'est surtout qu'il faut que ce soit des espaces vectoriels donc t'as pas trop le choix !

Ce que je voulais dire par complet c'était juste ensemble.
Je pensais plus à utiliser des intervalles.
Sinon, n'est pas complet.

[inviteaeeb6d8b]

Ce que je voulais dire par complet c'était juste ensemble.
Je pensais plus à utiliser des intervalles.
Sinon, n'est pas complet.

J'avais compris, et je sais que Q n'est pas complet Je voulais juste plaisanter !

Sinon, prendre des intervalles quand on impose une structure d'EV... bof bof...

Bon courage pour la suite !

Romain

[invite35452583]

Désolé, j'ai dit des bêêêtises...

Alors, deuxième essai!

Soit c appartenant à C.

donc c appartient à A+C
donc c appartient à A+B
donc il existe (a,b) appartenant à AxB tel que a+b=c
mais B est inclus dans C, donc b appartient à C
et a=c-b, avec c et b appartenant tous deux à C
donc a appartient à C
donc a apparient à A∩C
donc a appartient à A∩B
donc a appartient à B
donc c-b appartient à B
donc il existe b' appartenant à B tels que c-b=b'
donc c=b'+b
mais b et b' appartiennent tous deux à B
donc c appartient à B

Donc C est inclus dans B
Donc B=C

Hallelujah!

et désolé pour avoir flingué l'exercice en première approche...

(et promis, un jour je me mets au LateX)

C'est bien mais je rappelle que c'est l'exercice de Tony800, on est loin de simples indications comme demandées sur ce forum.

Sinon pour les contre-exemples, tu peux penser à prendre A suffisamment grand pour englober B et C (d'où A+B=A+C est assuré car égaux tous les deux à A), reste à se débrouiller pour avoir contrevenir à au moins une hypothèse.
L'hypothèse A+B=A+C fausse les deux autres vraies, il faut penser à prendre A "petit".

[invitebcc0a73f]

Merci pour ces informations complémentaires.