Proba : tout sous-ensemble n'est pas un événement ?

[invite5e34a2b4]

Bonjour,

Dans mon cours de Probabilités, mon prof a dit : "si un ensemble (l'univers) est fini ou dénombrable, tout sous-ensemble correspond à un événement". Ca se comprend de façon intuitive.
Puis, il continue : "Pour un ensemble continu, ce n'est plus nécessairement vrai, c'est pourquoi on introduit la notion de tribu qui permet de mettre les choses en place, et de définir ce qu'est un événement".

J'ai compris la suite (la définition d'une tribu etc.), mais je n'arrive pas à m'imaginer pourquoi une partie d'un ensemble continu ne serait pas un événement.

Donc, voilà, je suis preneur de toute explication, ou mieux d'un exemple parlant.

Merci d'avance.
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[GuYem]

Bonjour.

As-tu déjà fait un peu de théorie de la mesure ?

Si oui, tu sais que dans cette théorie, on définit des tribus, qui contiennent précisément les ensembles que l'on pourra mesurer plus tard.

Comme au départ, les probas c'est de la théorie de la mesure, il est normal que seuls les éléments de la tribu soient appelés des "événements", au sens où on pourra leur donner une probabilité (ie les mesurer).

Je ne sais pas si je réponds à ta question.

[invite4793db90]

Salut,

en d'autres termes, les parties de (par exemple) ne sont pas toujours (en fait rarement) mesurables.

Question subsidiaire : s'il on rejète l'axiome du choix, toutes les parties sont mesurables, non ?

[invite10a6d253]

Effectivement, la construction de parties non-mesurables nécessite l'axiome du choix. Voir le paradoxe de Banach-Tarski : on peut découper la boule unité de R3 en cinq morceaux, les déplacer et réunir les deux premiers pour construire une boule unité et les trois autres pour construire une deuxième boule unité. Evidemment les parties ainsi construites sont non mesurables...

Attention, même pour les proba discrètes, on parle d'événement pour une phrase comme "la somme de deux dés est égale à 7". Suivant l'espace fondamental choisi, cet "événement" peut on non être représenté par une partie de Omega...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite986312212]

Question subsidiaire : s'il on rejète l'axiome du choix, toutes les parties sont mesurables, non ?

logiquement, ce n'est pas parce que l'axiome du choix permet de prouver l'existence d'une partie de R qui n'est pas dans la tribu borélienne que sa négation implique qu'il n'y en a pas. Est-ce le cas?

[GuYem]

Je suis d'accord avec ambrosio, une petite faute de logique de Martini ?

EDIT : je rajoute que lors d'un ancien fil, un membre dont j'ai oublié le nom donnait une construction d'une partie de R non mesurable pour Lebesgue (avec des quotients de je ne sais plus quels trucs), et qu'il me semble qu'il ne faisait pas appel à l'axiome du choix.

[invite4793db90]

Salut,

logiquement, ce n'est pas parce que l'axiome du choix permet de prouver l'existence d'une partie de R qui n'est pas dans la tribu borélienne que sa négation implique qu'il n'y en a pas. Est-ce le cas?

Je suis bien d'accord : je posais justement la question !

Donc peut-on construire des parties non-mesurables sans invoquer l'axiome du choix ?

Je vais voir pour retrouver le fil, Guyem.

Merci.

[invite10a6d253]

L'existence d'une partie non mesurable implique l'axiome du choix : je cherche une ref.

[invite986312212]

c'est pas un peu bizarre qu'une propriété de l'ensemble des parties de R implique l'axiome du choix, qui lui concerne n'importe quel ensemble?

[invite10a6d253]

Cette question avait déjà été soulevée dans un précédent fil et ma réponse est incorrecte (au temps pour moi).
D'après Solovay, l'existence d'une partie mesurable (dans le système d'axiomes ZF) est indécidable.

Ref : Solovay, Robert M. A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable. Ann. of Math. (2) 92 1970 1--56. (Reviewer: A. Lévy) 02.68

[invite5e34a2b4]

Salut,

en d'autres termes, les parties de (par exemple) ne sont pas toujours (en fait rarement) mesurables.

Bonjour,
Je n'ai pas un niveau super avancé en math : qu'est-ce qu'une partie mesurable ?

Pour en revenir à ma question. Je la reformule : Considérons un ensemble
- je comprends tout à fait que si est fini, toute partie de correspond à un événement.
- j'arrive à comprendre que si est dénombrable (infini), toute partie correspond aussi à un événement,
- mais j'arrive pas à m'imaginer pourquoi si on considère un ensemble continu, ce n'est plus le cas !

Est-ce qu'il n'y aurait pas un exemple (un paradoxe peut-être) de partie d'un ensemble continu qui ne correspondrait pas à un événement : peut-être une sorte d' "événement" qui n'aurait pas de complémentaire etc.

Parce que, j'ai l'impression que la notion de tribu est assez inutile, d'autant qu'elle ne me semble pas très restrictive.

Mais bon, si l'explication ou même les exemples sont trop compliqués pour mon niveau, c'est pas grave, je l'admettrais.

Cordialement.

[invite4793db90]

Salut,

par "mesurable", tu peux simplement entendre le fait qu'on est capable d'en déterminer la probabilité (une probabilité n'est en fait qu'un cas particulier de mesure). On peut dire grosso modo que "ensemble mesurable" = "évènement".

- mais j'arrive pas à m'imaginer pourquoi si on considère un ensemble continu, ce n'est plus le cas !

Quelles sont les parties de ? Il y a bien sûr les intervalles et leurs réunions, mais aussi des trucs moins triviaux comme les ensembles de Cantor, par exemple. Néanmoins, la plupart des sous-ensembles de sont infiniment plus tordus !

Suppose que pour construire une partie de , tu examines chaque réel et fasse le choix de l'ajouter ou non à ta collection : le nombre de décisions est infini non-dénombrable et donc la construction impossible à faire de manière effective (sauf si l'on dispose d'un critère de décision). Le problème, c'est que ce genre de construction est précisément autorisé par l'axiome du choix, et in fine tu te retrouves en général avec des parties que tu ne peux pas décrire, sinon en énumérant tous ses éléments... Et alors, la notion de mesure n'a plus de sens.

Je sais pas si je suis très clair mais d'autres complèteront/corrigeront mon propos.

@ edpiste : merci pour la réponse et la réf !

Cordialement.

[invite986312212]

Bonjour,
Je n'ai pas un niveau super avancé en math : qu'est-ce qu'une partie mesurable ?

une réponse simple mais sans-doute pas vraiment satisfaisante, c'est que c'est un choix: on choisit de s'intéresser à certains sous-ensembles de en fonction de certains objectifs (pouvoir calculer des intégrales, prendre certaines limites, etc.)

mais c'est vrai quon pourrait définir des probabilités sur , je crois que le paradoxe de Banach-Tarski n'intervient qu'en dimension 3. Pour percevoir l'intérêt d'introduire des tribus, il faut avancer un peu dans l'étude des probas, et notamment voir les variables aléatoires (et la notion de tribu engendrée par une v.a.) et l'espérance conditionnelle. Cette dernière notion serait vide de sens si toutes les tribus étaient égales à .

[invitea77054e9]

Je suis d'accord avec ambrosio, une petite faute de logique de Martini ?

EDIT : je rajoute que lors d'un ancien fil, un membre dont j'ai oublié le nom donnait une construction d'une partie de R non mesurable pour Lebesgue (avec des quotients de je ne sais plus quels trucs), et qu'il me semble qu'il ne faisait pas appel à l'axiome du choix.

Salut,

Il me semble que la construction de parties de R non Lebesgue-mesurables nécessite l'utilisation de l'axiome du choix (même sous une forme cachée).
Un exemple qui revient souvent est R/Q, dans lequel on choisit un réel dans chaque classe d'équivalence, pour obtenir un sous-ensemble de R non mesurable.

[invite10a6d253]

Voici un exemple qui te paraitra peut-être plus parlant :

On lance deux dés simultanément et on s'intéresse à la somme des deux chiffres obtenus. On peut modéliser le problème en prenant pour ensemble fondamental Omega toutes les sommes ainsi obtenues. Omega est donc l'ensemble des nombres 2,3,4,..,12.

Sur Omega, on peut construire différentes tribus. Par exemple, comme l'a indiqué ton prof, on peut prendre la tribue A1 de toutes les parties de Omega.
Mais on pourrait aussi prendre la tribu A2 ne comportant que deux événements : l' événement impossible (c'est-à-dire l'ensemble vide) et l'evt certain (Omega).

Chacune de ces tribus nous permettra de calculer des probabilités. Regardons l'intérêt de chacune :

1. Si on veut connaitre la probabilité de E=" la somme est supérieure ou égale à 2", l'événement associé est E=Omega tout entier. E=Omega appartient à A1 comme à A2. Donc on peut utiliser l'une comme l'autre et on obtient P(E)=P(Omega)=1

2. Si on veut connaitre la probabilité de F="chaque dé porte le numéro 1". L'événement mathématique associé est l'ensemble comportant l'unique élément 2, noté F={2}. Cet ensemble est dans A1 mais pas dans A2. Conclusion, la tribu A2 ne contient pas assez d'événements pour répondre à la question et il vaut mieux travailler avec A1.

3. Si on veut connaitre la probabilité de G="un dé porte le numéro 6". Je te laisse réfléchir mais dans ce cas, G ne peut pas être décrit comme un sous-ensemble de Omega et donc la tribu A1 n'est pas non plus suffisante pour calculer la probabilité de G !

Pour résumer, à un événement de la vie courante, on ne peut pas toujours associer un événement mathématique (c'est-à-dire un élément d'une tribu).
Pour résoudre notre problème 3, il faudrait ici utiliser un ensemble fondamental plus approprié (par exemple Omega={1,2,3,4,5,6}^2 mais ce n'est pas le seul choix possible).


Ce petit discours ne répond cependant pas complètement à ta question initiale : pourquoi introduit-on ces tribus si compliquées dans le cas de variables continues ?

La réponse (historique) tient à des paradoxes compliqués dont nous avons parlé dans les précédentes réponses.

Si tu y réfléchis bien, la vraie question, c'est plutôt comment est-ce qu'on calcule la probabilité d'un événement quelconque ? Finalement, il n'ya que cela qui nous intéresse.
Prenons un nouvel exemple : un auto-stoppeur fait du stop sur le bord de l'autoroute. Si on s'intéresse au temps qu'il attendra pour être pris en stop, on peut modéliser cette expérience en posant Omega=R^+, l'ensemble de tous les temps positifs, mesurés en minutes.
A partir de là, on pourrait se poser les questions suivantes :
1. Quelle est la probabilité pour qu'il attende au plus un 1/4 d'heure ?
2. Quelle est la probabilité pour qu'il attende au moins un quart d'heure ou au plus une heure
3. (un peu plus vicieux) Quelle est la probabilité pour qu'il attende un nombre irrationnel de minutes ?
4. Encore plus vicieux, quelle est la probabilité pour qu'il attende un temps T quelconque parmi une liste A dont tous les éléments sont tels que la règle suivante est vérifiée : deux temps t1, t2 sont dans la liste A
si leur différence ne s'exprime pas comme un rationnel.

Ce que nous ensiegnent les trois premiers exemples, c'est que pour calculer des probabilités, les tribus forment un cadre très pratique. En effet, pour calculer la proba de la question 2, il suffit de calculer la proba de l'union des événements mathématiques E=[1/4,+\infty[ et F=[0,1]. Donc, pour que nos calculs de probabilité marchent, il faut s'assurer que la réunion de deux événements est encore un événement. Je te laisse inspecter le troisième cas.

Par contre pour le quatrième cas, on est foutu : cet ensemble est vraiment trop compliqué (il sort du cadre des tribus) et vouloir calculer sa probabilité est en dehors des moyens de la théorie actuelle.

[invite10a6d253]

Rectificatif : on peut peut-être calculer la probabilté de la liste A, par contre il existe des sous-ensembles de A dont on ne peut pas calculer la probabilité.

[invite5e34a2b4]

Wow, edpiste, merci d'avoir pris du temps pour me répondre. Tes exemples sont très parlants, et ils m'ont permis de comprendre l'intérêt de la notion de tribu. En plus, c'est super bien expliqué

Et merci aussi aux autres (Martini, Ambrosio et Evariste_galois)pour vos explications.

[invite10a6d253]

J'en profite pour te signaler l'excellent article de mon collègue Laurent Mazliak sur les probabilités disponible sur le site de Futura Sciences.

[invite4793db90]

Le lien : La Ruine du joueur.

Cordialement.