intégrales multiples et compagnie

[invite3df497c3]

Bonjour !

Le cours sur les intégrales multiples me pose quelques petits problèmes...

Pour commencer, je ne vois pas très bien d'où sort le Jacobien de la formule de changement de variable : Soit F une fonction de R²

Posons :
Tout d'abord, je ne suis pas sûre de comprendre quelle fonction doit être dérivée par rapport à quelle variable... et si je me lance dans le calcul en dérivant par rapport à sa première variable pour obtenir dx et par rapport à la seconde variable pour obtenir dy:


et

je me retrouve avec un produit dxdy égal à la somme de quatre termes, et je ne vois pas apparaître le jacobien...




Ensuite, dans la partie sur les intégrales curvilignes, on a :
je ne comprends pas le sens de parce qu'on a :
et si on pose, on a d'où ... donc je ne vois pas sortir de signe !



En fait je crois que mon plus gros problème vient du fait que je n'arrive pas trop à distinguer les vecteurs des scalaires, ni à percevoir ce qu'il faut dériver et par rapport à quoi...


Merci d'avance pour votre aide ! et demandez moi si mes interrogations ne sont pas claires...
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[invite3df497c3]

Bon, pour ma deuxième question, l'erreur vient du fait que j'ai oublié d'appliquer le changement de variable aux bornes de l'intégrale, du coup cette dernière est de même signe si est croissante, et change de signe si est décroissante...

Par contre, pour le jacobien, on m'a dit que mon écriture de dx n'est pas homogène, cependant je ne saisi pas pourquoi, et ne comprends toujours pas d'où vient l'utilisation du discriminant de la matrice de changement de base...

Help please !!! Ou si ma question est trop idiote, dites le moi !!!

[invite35452583]

A la "physicienne" :
Une intégrale double se calcule à peu près ainsi :
on découpe la zone B' sur laquelle on intègre en petits rectangles dont les côtés sont parallèles aux axes et de longueur . La contribution du petit rectangle dont les sommets ont pour coordonnées à l'intégrale de f est égal à f(x,y)xsurface de ce rectangle. Cette surface étant égale à la contribution est . L'intégrale est la somme de ces contributions en faisant tendre vers 0. désormais on garde l'écriture "infinitésimale" dx, dy, du dv.
Mais on peut aussi calculer cette intégrale en découpant la zone B' par des petites surfaces moins régulières que des rectangles du moment que l'on ne recouvre la surface qu'une seule fois (sauf éventuellement le long de lignes, qui sont de surface nulle) et avec des zones de plus en plus petites. On peut prendre par exemple comme petites zones l'image par une application bijective de petits rectangles d'une zone B.

Un petit rectangle dont les sommets ont pour coordonnées (u;v) (u+du,v) (u,v+dv) (u+du;v+dv) est envoyé approximativement (en négligeant les termes d'ordre supérieur à 1) sur un parallélogramme dont les points sont de coordonnées :





La surface de ce parallélogramme est égale à la valeur du produit vectoriel des vecteurs de coordonnées qui se trouve être le jacobien de x dudv

[invite3df497c3]

Merci beaucoup pour cette réponse complète et claire !!!

[A voir en vidéo sur Futura]