Bonjour,

je bloque sur cet exo:

Soient un espace de Hilbert réel de produit scalaire associé et un convexe fermé non vide de .

Soit une application -Lipschitzienne avec , i.e. pour tous .

On suppose de plus que est monotone au sens suivant: pour tous .

Soit un point tel que pour tout .

Soient et fixés. On pose et .

On se propose de montrer que .

1) a) Rappeler la définition d'un ensemble convexe de H et la caractérisation en termes de produits scalaires de l'égalité .

b) Montrer que si et seulement si et pour tout .

2) Justifier l'inégalité et en déduire que



puis en utilisant la monotonie de que



3) Déduire de que .

4) En utilisant la définition de montrer que

5) Déduire de 3) et 4) les inégalités .


Je bloque à la question 5) je ne vois pas comment montrer l'inégalité de gauche. Merci pour votre aide.