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Groupe de Klein et S3



  1. #1
    Coyolxauhlqui

    Groupe de Klein et S3


    ------

    Bonjour, j'ai lu que le groupe symétrique d'ordre 3 était isomorphe au groupe de Klein ( une démonstration serait disponible dans le " abstract algebra" de Nicholson, que je n'ai pas pu consulter..)
    Est ce que l'un de vous pourrait m'expliquer pourquoi il y a bien isomorphisme?

    -----

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  3. #2
    Ksilver

    Re : Groupe de Klein et S3

    Salut !


    euh pour moi S3 c'est le groupe des permutations de [1,3] c'est un groupe non abélien à 6 élements (le seul groupe non abélien à 6 élements)

    et le groupe de Klein c'est (Z/2Z)², donc un groupe abélien a 4 élements... ils ne peuvent donc pas être isomorphe !

    ou alors on à des définitions qui diffèrent ?

  4. #3
    Coyolxauhlqui

    Re : Groupe de Klein et S3

    effectivement, seulement l'égalité porte sur les dimensions... et autant il me parait naturel que dim(S3) = 6 ,autant je ne saurais montrer l'indépendance linéaitre ^o)
    (je sors de concours j'ai le cerveau lobotomisé, je demande de l'indulgence :$ )

  5. #4
    Coyolxauhlqui

    Re : Groupe de Klein et S3

    Et d'ailleurs, je viens d'écrire les matrices associées a S3, elles ne sont pas indépendantes linéairement, donc S3 aurait du mal a être de dimension 6.. on doit pouvoir montrer que sa dimension est 4 ce qui résolverait ce prmier problème.

  6. #5
    Coyolxauhlqui

    Re : Groupe de Klein et S3

    Bon, vu que je ne sais pas éditer, je suis condamnée a me répondre toute seule, et je précise que je me suis trompée de questions, j'aurais plutot du demander " pourquoi les automorphismes du groupe de Klein sont isomorphes a S3 "?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Ksilver

    Re : Groupe de Klein et S3

    Edit : à oui à la lumière de ton dernier post je comprend mieux ^^ je vais essayer de répondre !

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  10. #7
    Ksilver

    Re : Groupe de Klein et S3

    ce qu'il faut voir c'est un morphisme de groupe de (Z/pZ)^k, c'est la meme chose qu'un endomorphisme de (Z/pZ) espace vectorielle.

    donc aut((Z/2Z)^2) = GL2(Z/2Z).

    le groupe de klein à 4 element : 0,e1,e2 et e3=e1+e2.

    il suffit de vérifier que pour s une permutation de S3 l'application
    fs:
    0->0
    ei->es(i)

    est bien linéaire. (et elle est evidement inversible)

    il suffit pour cela juste de vérifier que dans chacun des cas que f(e1+e2)=f(e1)+f(e2) (je te laisse le faire, c'est trés rapide...), en effet si on à cela, on peut définir f comme l'unique application linéaire que envoie e1 sur es(1) et e2 sur es(2) f coïncide avec fs !


    et réciproquement toute automorphisme de (Z/2Z)^2 s'écrit de facon unique sous cette forme. d'ou l'isomorphisme.

  11. #8
    Coyolxauhlqui

    Re : Groupe de Klein et S3

    ah mon dieu, je ne comprends pas trop pourquoi aut(Z/2Z)² ) = Gl2(Z/2Z)..
    (si tu veux tu m'expliques les maths et en contrepartie je corrige ( sans penser a mal) tes fautes d'orthographe :$ ,mais en tout cas merci pour tes réponses)

  12. #9
    Ksilver

    Re : Groupe de Klein et S3

    Et bien il faut mettre les main dans les défintion.

    prend f un morphisme de groupe de (Z/2Z)^2, et vérifie que c'est bien une application Z/2Z linéaire :

    on f(a+b)=f(a)+f(b)
    pour tous l dans Z/2Z f(lx)=lf(x) : (en effet si l=0, f(0)=0 et si l=1 f(x)=f(x))

    c'est pour ca que je dis aut((Z/2Z)²)=GL2(Z/2Z)

    mais ce n'est pas extrêmement important, je pensais juste que ça te clarifierai les pensées pour comprendre comment on vérifie ensuite que tous les "fs" sont bien des morphismes de groupe (ou des automorphisme linéaire)


    mais essentiellement, c'est un résultat trivial (dans le sens ou il ne fait intervenir que des groupe à 6 élements, et donc qu'on peut trés bien faire la vérification à la main en écrivant les "tables de multiplication" du groupe), il faut juste t'en convaincre.

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