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Kaluza-Klein



  1. #1
    G13

    Kaluza-Klein


    ------

    Bonsoir,

    Dans un cours de relativite generale, l'auteur rajoute un tenseur lié au champ electromagnetique au tenseur lié a la matiere dans l'equation d'Einstein.
    L'electromagnetisme et la gravitation sont donc unifiés.
    D'autre part, il me semblait que Kaluza et Klein avaient cherché à unifier ces deux theories. Donc cela semble contradictoire. Ou est mon erreur ?

    -----

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  3. #2
    Deedee81

    Re : Kaluza-Klein

    Bonjour,

    Citation Envoyé par G13 Voir le message
    Dans un cours de relativite generale, l'auteur rajoute un tenseur lié au champ electromagnetique au tenseur lié a la matiere dans l'equation d'Einstein.
    L'electromagnetisme et la gravitation sont donc unifiés.
    Oulà ! Non, il ne s'agit pas d'unification.
    L'équation d'Einstein dit simplement :
    Tenseur d'Einstein (lié à la courbure) = Tenseur énergie-impulsion

    Et ce tenseur énergie impulsion contient toute l'énergie-impulsion.
    Celle de la matière, des champs électromagnétiques,...

    Pour qu'il y ait unification il faudrait que les équations
    résultantes conduisent aussi bien à l'équation d'Einstein
    qu'aux équations de Maxwell. Il faudrait donc aussi
    modifier le coté gauche de l'équation.

    Citation Envoyé par G13 Voir le message
    D'autre part, il me semblait que Kaluza et Klein avaient cherché à unifier ces deux theories.
    Oui, là c'est exact.
    Si tu prends (Kaluza) un espace-temps à cinq dimensions
    (4+1) avec l'équations d'Einstein Guv=0,
    on vérifie qu'en considérant le sous-espace 3+1
    les équations que l'on obtient sont celles d'Einstein
    plus Maxwell.

    Remarquable.

    Note que j'ai écrit Guv=0. C'est-à-dire qu'on
    considère un espace vide de matière.
    A ma connaissance ça ne marche que dans ce cas
    (si quelqu'un peut confirmer, ce serait sympa).

    On voit en outre un champ scalaire en plus (dilaton).

    Enfin, comment justifier la non observation
    de la 4ème dimensions spatiale ? Klein a eut
    l'idée : l'enrouler sur une distance infime.
    Cela offre de plus un moyen de "justifier" la
    quantification de la charge de l'électron !

    Un bon article que j'ai lu sur le sujet :
    http://xxx.lanl.gov/abs/hep-th/9410046

    Génial ! Mais l'espace vide limite l'utilité et de plus
    ce n'est pas une théorie quantique (de ce point de vue
    c'est pire : cette théorie est encore "moins renormalisable"
    que la relativité générale habituelle). L'unification,
    dans le domaine des théories quantiques, de
    l'électromagnétisme et de l'interaction faible puis
    forte avait rendu cette approche obsolète.

    Mais c'est quand même une des idées clefs qui a conduit
    à la théorie des cordes. Donc, ce n'est plus si obsolète

    Citation Envoyé par G13 Voir le message
    Donc cela semble contradictoire. Ou est mon erreur ?
    Meuuuh non, pas une erreur, une confusion sur le terme
    "unifié", c'est tout

    Ceci dit, il n'y aurait pas nécessairement eut contradiction.
    Il peut parfois y avoir plusieurs manière de formuler
    une théorie ou plusieurs théories donc plusieurs
    manières d'unifier (pas nécessairement toutes correctes).

  4. #3
    G13

    Re : Kaluza-Klein

    Merci beaucoup !
    Est-ce que si j'ai bien compris, l'equation avec le tenseur liée à l'electromagnetisme, le tenseur energie-impulsion de la matiere, n'a pas comme consequence toutes les equations de Maxwell, mais seulement une partie ?

  5. #4
    G13

    Re : Kaluza-Klein

    Ou bien des equations differentes de celles de Maxwell ?

  6. #5
    Karibou Blanc

    Re : Kaluza-Klein

    le tenseur liée à l'electromagnetisme, le tenseur energie-impulsion de la matiere, n'a pas comme consequence toutes les equations de Maxwell
    le champ électromagnétique fait partie des champs de matière, dans ce contexte matière est à prendre comme tout ce qui n'est pas pas géométrique (ou purement gravitationnel). Les equations d'einstein (avec le tenseur impulsion-énergie du champ EM) te donneront comme toujours la géométrie (la métrique) qui revêt l'espace-temps en présence d'un champ électromagnétique. En d'autres termes cela te permettra de calculer l'influence de ce champ sur la géométrie, l'inconnue dans ces équations est donc la métrique, le champ EM est lui supposé connu et fixé par une dynamique propre extérieure à la RG qui est l'équation de Maxwell (plutot sa généralisation en espace courbe dans le cas général).


    L'unification à la Kaluza consiste à dire que le champ EM fait lui aussi parti de la géométrie (et n'est donc plus considéré comme de la matière dans ce contexte) et est une composante de la métrique dans un espace-temps 5D. Ainsi après compactification de la 5eme dimension, l'équation d'Einstein 5D détermine la géométrie résiduelle 4D plus la dynamique du champ EM.
    C'est donc completement différent.
    Well, life is tough and then you graduate !

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    G13

    Re : Kaluza-Klein

    D'accord, j'ai compris maintenant.
    Merci beaucoup !

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  10. #7
    Karibou Blanc

    Re : Kaluza-Klein

    Génial ! Mais l'espace vide limite l'utilité et de plus
    ce n'est pas une théorie quantique (de ce point de vue
    c'est pire : cette théorie est encore "moins renormalisable"
    que la relativité générale habituelle).
    Toute les théories (gravité ou jauge) avec dimension supplémentaire d'espace sont non-renormalisable (modulo la gravité qui ne l'est pas non en 4d), c'est un fait (les dimensions de masse des constantes de couplages deviennent de plus en plus négatives lorsque le nombre de dimensions supplémentaires croit). Néanmoins ce n'est pas un obstacle, cela signifie simplement que la théorie (4+n)d n'est valable que pour des énergies infiérieures à l'échelle de compactification, ou des distances plus grandes que la taille des dimensions supplémentaires (supposées compactes). C'est à dire dans un régime ou l'espace parait 4-dimensionnel en gros, l'espace compact suppplémentaire ne se manisfestant que via la génération d'harmoniques (plus massives) pour les particules existantes en 4d initialement. Dans ce régime la, la relativité générale en (4+n)d n'est pas plus problématique qu'en 4d. Ce que tu dis serait vrai s'il n'y avait pu eu de compactification.
    A noter qu'on pourrait croire qu'il est nécessaire de compactifier ces extra-dimensions parce qu'elles ne se manifestent pas à notre échelle. Mais ce serait négliger l'éventualité que notre monde est confiné dans une "feuille" 4d plongée dans un espace plus grand non compacte.

    L'unification,
    dans le domaine des théories quantiques, de
    l'électromagnétisme et de l'interaction faible puis
    forte avait rendu cette approche obsolète.
    Ce surtout la découverte de nouvelles interactions (faible et forte) qui a rendu ce type d'unification tres ardue et donc moins attractive. Néanmoins on peut montrer qu'il est possible d'ajouter un espace compact à notre géométrie 4d de manière à reproduire après compactification (non hasardeuse, car elle doit préserver les isométries correspondantes aux groupes de jauges des diverses interactions: cercle S1 (U(1)) x sphere S2 (SU(2)) x sphere S3 (SU(3)) )
    les équations d'einstein 4d + maxwell + Yang-mills pour les champs de jauges non-abéliens. Ainsi le photon, les W/Z et gluons sont les composantes d'une métrique dans un espace-temps à 10dim (4+1+2+3). Outre le fait que tout ce beau monde est de masse nulle, le principal obstacle de ce genre de constructions est que l'interaction faible est une interaction distingue les fermions de chiralités droite et gauche. Or dans un espace à 10d les chiralités droite et gauche ne sont pas indépendantes (comme c'est le cas en 4d), et il n'est pas possible d'attribuer un comportement sous l'interaction faible différent selon la chiralité, ce qui est le cas expérimentalement.
    Ca a conduit les physiciens à renoncer à cette approche, jusqu'à il y a quelques années ou l'on s'est rendu compte qu'au lieu d'ajouter S1xS2xS3 à notre géométrie 4d, on pouvait ajouter des variétés plus tordues appelées orbifold grace auquelles on pouvait construire des fermions de chiralité droite et gauche indépendants ! Néanmoins ces constructions sont extrêment complexes et pas forcément fructueuses.
    Mais c'est quand même une des idées clefs qui a conduit
    à la théorie des cordes
    L'idée clé qui a conduit à la théorie des cordes est le fait qu'elle contient dans son spectre une particule de spin 2 dont le comportement à haute énergie est controlable (contrairement au graviton de la RG). Par ailleurs l'hypothèse des cordes a été avancée pour conprendre le confinement des quarks en QCD (cf travaux de Veneziano dans les années 60).
    Well, life is tough and then you graduate !

  11. #8
    Deedee81

    Re : Kaluza-Klein

    Bonjour,

    Citation Envoyé par Karibou Blanc Voir le message
    les équations d'einstein 4d + maxwell + Yang-mills pour les champs de jauges non-abéliens. Ainsi le photon, les W/Z et gluons sont les composantes d'une métrique dans un espace-temps à 10dim (4+1+2+3).
    Tu aurais une référence sur ça ?
    (un article sur ArXiv par exemple)
    Bon, c'est anecdotique vu les difficultés que tu soulèves
    mais j'aime ce genre de truc, à lire pendant mes
    longues soirées d'hiver

    Citation Envoyé par Karibou Blanc Voir le message
    L'idée clé qui a conduit à la théorie des cordes est le fait qu'elle contient dans son spectre une particule de spin 2 dont le comportement à haute énergie est controlable (contrairement au graviton de la RG). Par ailleurs
    C'est plutôt sa justification (bon, c'est une question de
    point de vue ).

    Citation Envoyé par Karibou Blanc Voir le message
    l'hypothèse des cordes a été avancée pour conprendre le confinement des quarks en QCD (cf travaux de Veneziano dans les années 60).
    Vi et après, troisième clef, ça été l'introduction
    de la supersymétrie. Mais je ne connais pas
    tous les détails historiques.

    Merci de toutes ces précisions en tout cas,

  12. #9
    Karibou Blanc

    Re : Kaluza-Klein

    Tu aurais une référence sur ça ?
    bien sur, mais acces payant (je pense pas que je puisse poster le pdf sur le forum...) : http://www.sciencedirect.com/science...a616a10a63e19a

    Apres relecture rapide, l'espace compact le plus petit qui contient les symétries du modele standard est un peu plus compliqué que celui que j'ai annoncé : CP2 x S2 x S1 (au lieu de S3 x S2 x S1) de dimension 4+2+1=7 soit 11 dimensions au total (ce qui correspondait d'ailleurs à la dimensionnalité maximale de l'espace-temps pour laquelle on avait une théorie de supergravité, supposée renormalisable à l'époque, c'est aussi pour cela que ca a pas excité la communauté des physiciens). CP2 est ce qu'on appelle un espace (complexe) projectif de dimension (complexe) 2, soit 4 dimensions réelles.

    C'est plutôt sa justification (bon, c'est une question de
    point de vue
    Pour QCD les cordes étaient loin d'etre des objets fondamentaux (les quarks n'étaient pas des cordes par exemple), et leur taille était beaucoup plus grande que celle considérée aujourd'hui (de l'ordre de la longueur de Planck).
    C'est donc le jour où on s'est rendu compte qu'une corde pouvait décrire un champ de spin 2 (un graviton) qu'on a revu à la baisse la taille des cordes (pour que l'intensité de l'interaction soit de l'ordre de celle de la gravité, ie l'échelle de Planck) et élaboré la théorie (des cordes) dont tout le monde parle depuis 40 ans. Ce n'est donc pas qu'un point de vue

    ça été l'introduction
    de la supersymétrie
    La supersymétrie a été introduite dans la théorie parce que cette dernière s'était donnée pour vocation de décrire toutes les particules de la nature, or une corde ne contient que des états d'excitation bosoniques. La supersymétrisation de la corde a permis d'incorporer les fermions dans la théorie.
    Well, life is tough and then you graduate !

  13. #10
    Deedee81

    Re : Kaluza-Klein

    Citation Envoyé par Karibou Blanc Voir le message
    Pour QCD les cordes étaient loin d'etre des objets fondamentaux (les quarks n'étaient pas des cordes par exemple), et leur taille était beaucoup plus grande que celle considérée aujourd'hui (de l'ordre de la longueur de Planck).
    C'est donc le jour où on s'est rendu compte qu'une corde pouvait décrire un champ de spin 2 (un graviton) qu'on a revu à la baisse la taille des cordes (pour que l'intensité de l'interaction soit de l'ordre de celle de la gravité, ie l'échelle de Planck) et élaboré la théorie (des cordes) dont tout le monde parle depuis 40 ans. Ce n'est donc pas qu'un point de vue
    Hé bien voilà, je disais bien que je ne connaissais
    pas les détails historiques.

    Merci de tes précisions.

    Citation Envoyé par Karibou Blanc Voir le message
    La supersymétrie a été introduite dans la théorie parce que cette dernière s'était donnée pour vocation de décrire toutes les particules de la nature, or une corde ne contient que des états d'excitation bosoniques. La supersymétrisation de la corde a permis d'incorporer les fermions dans la théorie.
    J'ai lu aussi que cela avait, oh joie, éliminé les
    tachyons de la théorie. C'est vrai ?

  14. #11
    Karibou Blanc

    Re : Kaluza-Klein

    J'ai lu aussi que cela avait, oh joie, éliminé les
    tachyons de la théorie. C'est vrai ?
    en effet, oui.
    Well, life is tough and then you graduate !

  15. #12
    Deedee81

    Re : Kaluza-Klein

    Citation Envoyé par Karibou Blanc Voir le message
    en effet, oui.
    Merci pour tout

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