salut.
J'ai du mal à comprendre le Procédé d'orthonormalisation de Schmidt, enfin de point de vu théorique. J'aimerais bien voir comment ça marche sur un exemple concret si quelqu'un peut m'aider.
Par exemple :
Soitun ev des polynômes de degré inférieur ou égale à 2. E est munit du produit scalaire
il s'agit de faire quoi au juste ? calculer la norme de chacun des vecteur et puis....?
Merci.
Tu cherches un vecteur de la forme a.1+b.X qui soit orthogonal à 1, tu le divises par sa norme pour le normer à 1. Ensuite tu cherches un vecteur de la forme p.1+q.X+r.X² qui soit orthogonal aux deux premiers etc.
on a e1=1
Calculons la norme de e1 :
on poses donc
Ensuite on a e2=X
On pose
Puis
Puis
C'est bon ça ?
Très simplement, il suffit d'accepter le fait qu'un sev soit en somme directe de son orthogonal et qu'il soit complémentaire, donc tout ton espace est formé de ces deux sev.Si H est un sev de E, et G est l'orthogonal de H, ,alors:
H (somme directe) G = E
A partir de là, tu sais qu'en choisissant un vecteur de H et un de E, tu as un vecteur de G, donc orthogonal à H, donc à tout vecteur de H, ce qui est agreable quand on cherche un base orthonormée.
Au debut, tu prends le vecteur 1 de ta base de depart: il est normalisé, pas de pb.
Ensuite, tu considères le sev de base (1) (en fait de la base orthonormée que tu as deja formé) et tu prends le vecteur X: à priori on n'est pas normalisé, et pas orthogonal à 1, donc tu utilises l'egalité précédente en disant que X est un vecteur de E, et donc que sa projection sur H est un vecteur de H: c'est la que tu utilise ton produit scalaire, avec la formule de projection.
Avec ces deux vecteurs, selon l'égalité, tu as acces à un vecteur de G, donc de l'orthogonal de H: il suffit donc de le diviser par sa norme, et tu a ton nouveau vecteur de la bas orthonormée.
Apres, il reste à refaire exactement la meme chose avec X²: la seule difference est que la projection sera plus lourde.
