Compactifié d'Alexandrov de IR

[invite769a1844]

Bonsoir,


j'ai un problème avec cet exo:

Soit un singleton et .

1. Soit le sous-ensemble de formé par:

• les intervalles ouverts de
• les ensembles de la forme pour .

Montrer que est une topologie sur . (Muni de cette topologie, est appelé compactifié d'Alexandrov de ).

2. Montrer que est homéomorphe à l'espace quotient .

Pour la 1. ça va, mais pour la 2. je galère :

Je considère l'application telle que

.

J'ai montré que est continue,

Dire que équivaut à dire que ,

comme est bijective, en quotientant , et en notant la projection canonique,

on obtient une bijection telle que , et est continue étant donné que l'est.

Mais là je ne vois pas comment montrer que est aussi continue.

Merci pour vos indications.
-----

[invite769a1844]

Je voulais dire

[invite769a1844]

Bon j'ai trouvé finalement, je devais être un peu trop fatigué hier.

est compact car image par (qui est continue) du compact et est séparé donc est un homéo.

[invite52487760]

Salut "legeniedesalpages" :
J'ai pas assez de prerequis pointus pour aborder ce sujet ... Neanmoins, je peux te montrer comment on resoud "officiellement" ce genre de resultat ( D'après les investigations que je viens de faire tout à l'heure ... ) ... !
Voiçi d'abord le principe de compactification d'Alexandroff pour le cas de la droite $\ \mathbb{R} $ :
D'abord, le principe consiste en général, à rendre un espace non compact, compact ... Et pour la compactification d'Alexandroff qui n'est qu'un cas parmi d'autres compactifications, s'applique uniquement à des espaces particuliers ( Ce sont les espaces separés, et localement compact ... ) ... C'est le cas justement de $\ \mathbb{R} $ ... Donc, $\ \mathbb{R} $ n'est pas compact, mais peut devenir compact grace à ce principe de compactification ...
Ce principe consiste à ajouter un point $\ x $ en dehors de $\ \mathbb{R} $ ... Et on note : le compactifié d'Alexandroff $\ \hat{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigcup \{ x \} $ qui est desormais compact ...
Li'dée c'est ça : $\ [0,1[ $ n'est pas compact, son comapctifié $\ [0,1[ \bigcup \{ 1 \} = [0,1] $ est compact ... ! Mais attention : par exemple : $\ [0,1[ \bigcup \{ 3 \} $ n'est pas compact ... donc, ce n'est pas un compatifié ... ce qui veut dire que le point $\ x $ qu'on ajoute à un ensemble pour qu'il devient compact, doit etre adherent à l'ensemble ... !
La même chose se passe dans $\ \mathbb{R} $ ...
ALors, le principe est simple :
On trace le cercle $\ S^{1} $ unité dans un repère orthonormé $\ (O, \vec{i}, \vec{j} ) $ ... On appelle le point $\ N = (0,1) $ un pole ... Si on prend une droite quelconque passant par $\ N $ ... cette droite coupe le cercle en un unique $\ P $ ( resp . l'axe d'abscisse en un unique $\ Q $ ) ... Donc, il y'a bijection entre la droite d'abscisse qui est $\ \mathbb{R} $ et le cercle ... Il ne faut pas oublier aussi la presence de ses droites ( $\ \mathbb{P}^{1}( \mathbb{R} ) $ : espace projectif ) qui coupent $\ \mathbb{R} $ et $\ S^{1} $ en $\ P $ et $\ Q $ qui sont aussi uniques pour chaque $\ P $ et $\ Q $ et donc, il y'a aussi bijection dans ce sens là ... Bref : $\ \mathbb{R} \cong S^{1} \cong \mathbb{P}^{1}( \mathbb{R} ) $ ...Donc, pour montrer l'homeomorphie entre $\ \mathbb{R} $ et $\ S^{1} $ on montre l'homeomorphie entre $\ \mathbb{R} $ et $ \mathbb{P}^{1}( \mathbb{R} ) $ et l'homeomorphie entre $\ \mathbb{P}^{1}( \mathbb{R} ) $ et $\ S^{1} $ ... et par transitivité, on obtient le resultat ... !
$$\ ================ $$
Alors, miantenant passons à notre sujet :
D'abord, tu identifies le quotient $\ [-1,1] / \{ -1 , 1 \} $ ( defini par soit un morphisme de groupes sur $\ \mathbb{R} $ soit par une relation d'equivalences : $\ x \mathcal{R} y \quad \Longleftrightarrow \quad x = y \wedge x = -y $ ) à un autre quotient $\ [-1,1] / \varphi $ definie par ta $\ \sim $ ... Alors, je sais pas comment il est definie ton quotient ... J'espère qu'on aura plus explications sur ce point là ... !
Cordialement !!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite52487760]

Salut "legeniedesalpages" :
J'ai pas assez de prerequis pointus pour aborder ce sujet ... Neanmoins, je peux te montrer comment on resoud "officiellement" ce genre de resultat ( D'après les investigations que je viens de faire tout à l'heure ... ) ... !
Voiçi d'abord le principe de compactification d'Alexandroff pour le cas de la droite :
D'abord, le principe consiste en général, à rendre un espace non compact, compact ... Et pour la compactification d'Alexandroff qui n'est qu'un cas parmi d'autres compactifications, s'applique uniquement à des espaces particuliers ( Ce sont les espaces separés, et localement compact ... ) ... C'est le cas justement de ... Donc, n'est pas compact, mais peut devenir compact grace à ce principe de compactification ...
Ce principe consiste à ajouter un point en dehors de ... Et on note : le compactifié d'Alexandroff qui est desormais compact ...
Li'dée c'est ça : n'est pas compact, son comapctifié est compact ... ! Mais attention : par exemple : n'est pas compact ... donc, ce n'est pas un compatifié ... ce qui veut dire que le point qu'on ajoute à un ensemble pour qu'il devient compact, doit etre adherent à l'ensemble ... !
La même chose se passe dans ...
ALors, le principe est simple :
On trace le cercle unité dans un repère orthonormé ... On appelle le point un pole ... Si on prend une droite quelconque passant par ... cette droite coupe le cercle en un unique ( resp . l'axe d'abscisse en un unique ) ... Donc, il y'a bijection entre la droite d'abscisse qui est et le cercle ... Il ne faut pas oublier aussi la presence de ses droites ( : espace projectif ) qui coupent et en et qui sont aussi uniques pour chaque et et donc, il y'a aussi bijection dans ce sens là ... Bref : ...Donc, pour montrer l'homeomorphie entre et on montre l'homeomorphie entre et et l'homeomorphie entre et ... et par transitivité, on obtient le resultat ... !

Alors, miantenant passons à notre sujet :
D'abord, tu identifies le quotient ( defini par soit un morphisme de groupes sur soit par une relation d'equivalences : ) à un autre quotient definie par ta ... Alors, je sais pas comment il est definie ton quotient ... J'espère qu'on aura plus explications sur ce point là ... !
Cordialement !!

[invite52487760]

J'ai oublié de te raconter une chose ( la plus importante dans tout celà ... ) :
Jusqu'ici tout est clair, ... !
Si on note : cette bijection ... !
On a :
Mais ce qui est important à savoir, c'est que : avec le point qu'on a ajoute à pour obtenir le compactifié de ... ce se trouve dans les deux cotés à gauche et à droite de ( à l'infini plus exactement : ) ... comme ça :
( Bref celà veut dire qu'on relie les extremités de par qui est l'image de par ... et on obtient ainsi un cercle ... !
Cordialement !
P.S : Tu remarques pas une chose "legeniedesalpages" que dans certains boquins d'analyse de L1, avant même de savoir ce qu'est le compactifié et toute la topologie qu'on etudie à partir de L3 ... definie des fonctions sur ... et ben, c'est le compactifié de tout simplement ... ! Et donc, si en analyse on se contente uniquement de sans le compactifié , on peut pas definir ce qu'est : par exemple ... !

[invite2c3ff3cc]

et sont clairement homéomorphes.

Maintenant la projection stéréographique R -> S1 : f(x) = { 2x/(1+x^2), (1-x^2)/(1+x^2) } + f(w) = (0,1) est un homéomorphisme.

[invite52487760]

Bonjour :
ThSQ, c'est ... comment on l'obitnet ? merci ... !

[invite2c3ff3cc]

Bonjour :
ThSQ, c'est ... comment on l'obitnet ? merci ... !

Heu, tu peux préciser là.

[invite52487760]

Salut :
J'ai mal ecrit !
C'est QUOI ... ? Comment on l'obtient ... ? Par quelle relation d'equivalence, ou par quel morphisme de groupes ... ?
Merci infiniment ... !

[invite2c3ff3cc]

Salut :
J'ai mal ecrit !
C'est QUOI ... ? Comment on l'obtient ... ? Par quelle relation d'equivalence, ou par quel morphisme de groupes ... ?
Merci infiniment ... !

Ah ok. C'est en définissant la relation d'équivalence x ~y ssi (x=y ou x=-1 et y=1 ou x=1 et y=-1), ça revient à dire -1=1 ou encore ça revient à refermer -1..1 sur lui-même

[invite52487760]

T'a oublié : n'est ce pas ?
Merci pour ces precisions "ThSQ" !

[invite2c3ff3cc]

Non je crois pas, là tu fais deux fois le tour.

[invite769a1844]

Bonjour à vous deux,

merci pour ce topo pablo, j'en suis arrivé à peu près au même point de mon côté, mais je ne connaissais pas ces projections stéréographiques et sinon j'ens usi encore à déterminer un homéomorphisme entre et

La relation d'équivalence n' a a priori pas vraiment de rapport avec les groupes mais plus avec la topo, c'est celle qui permet de "coller" ou d'"identifier" tous les éléments d'une même partie:

pour une partie , ssi ou .

Ici et ( n'est pas un groupe, et donc n'en est pas un sous-groupe à part peut être en y implémentant une loi zarbi mais je ne crois pas qu'il n'en est question ici).

P.S : Tu remarques pas une chose "legeniedesalpages" que dans certains boquins d'analyse de L1, avant même de savoir ce qu'est le compactifié et toute la topologie qu'on etudie à partir de L3 ... definie des fonctions sur ... et ben, c'est le compactifié de tout simplement ... !

oui mais c'est pas le compactifié d'Alexandrov, c'est celui de la droite achevée où on rajoute deux points à l'infini.

si en analyse on se contente uniquement de sans le compactifié , on peut pas definir ce qu'est : par exemple ... !

hé bien si, pour ma part j'ai appris ces définitions de limite avant de connaître :

Par exemple, on dit que a pour limite quand si pour tout il existe tel que

.

Mais travailler dans permet de réunir les définitions de telles sortes qu'on a plus qu'une définition de

, que et soient des réels ou des points à l'infini.

[invite52487760]

Salut "legeniedesalpages" :
Oui, c'est vrai la droite achevée n'est pas le compactifié d'alexandroff de c'est normal , Mais c'est ne compactification , et c'est ça ce qui compte ... !
Pour avoir une idée sur celà, lis le poste d'egoroff ( mar 1 juillet 2008 01:06:00 ) sur le lien suivant :
http://les-mathematiques.u-strasbg.f...,452043,452056
Il y'a aussi une chose que tu dois savoir, c'est que ce domaine de compactification a plus d'applications dans la geometrie et espaces projectives ... ! Donc, ce sera aussi une opportunité pour toi de decovrir ce joli monde ... ! La geometrie projective sert beaucoup en informatique ( Les jeux videos sur un pc par exemple sont fait grace à cette geometrie ... ) ...
Cordialement ... !

[invite769a1844]

Salut "legeniedesalpages" :
Oui, c'est vrai la droite achevée n'est pas le compactifié d'alexandroff de c'est normal , Mais c'est ne compactification , et c'est ça ce qui compte ... !
Pour avoir une idée sur celà, lis le poste d'egoroff ( mar 1 juillet 2008 01:06:00 ) sur le lien suivant :
http://les-mathematiques.u-strasbg.f...,452043,452056
Il y'a aussi une chose que tu dois savoir, c'est que ce domaine de compactification a plus d'applications dans la geometrie et espaces projectives ... ! Donc, ce sera aussi une opportunité pour toi de decovrir ce joli monde ... ! La geometrie projective sert beaucoup en informatique ( Les jeux videos sur un pc par exemple sont fait grace à cette geometrie ... ) ...
Cordialement ... !

merci pour le lien

[invite769a1844]

La suite me fait galérer aussi

Soient un espace localement compact et ,

on pose .

Soit l'ensemble formé par :

• les ouverts de ;
• les ensembles de la forme avec compact de .

1. Montrer que est une topologie sur .
Avec cette topologie, est appelée compactifié d'Alexandrov de .

2. Montrer que pour cette topologie, est compact.

Je me casse les dents pour montrer la compacité de .

merci pour votre aide.

[Médiat]

Je me casse les dents pour montrer la compacité de .

Un recouvrement du compactifié doit comprendre un ouvert contenant , et qu'est-ce qui reste ?

[invite769a1844]

ah oui un compact à recouvrir

merci Médiat.

[invite769a1844]

Cette fois, il s'agit de déterminer le compactifié d'Alexandrov de .

On sait que le compactifié de (que je vais noter , je ne sais pas faire le chapeau en latex) est .

Donc pour montrer que est homéomorphe à ,
je suis parti dans l'idée qu'il suffit de montrer que est homéomorphe à
(le compactifié du produit est le produit des compactifiés) .

J'ai commencé par regarder les ouverts de ,
ce sont

• les ouverts de ;
• les avec compact dans .

Ensuite pour montrer les ouverts de sont ouverts pour ,
il suffit de le montrer pour les pavés ouverts de , ce qui est d'ailleurs immédiat.

Ensuite pour montrer que les sont ouverts pour ,
ce point à l'infini me gêne pas mal

[invite52487760]

Attend je vais te repondre dans un instant, j'ai un truc à faire dehors ... je reviens tout de suite ... !

[invite52487760]

et
ça vient du fait que :
Cordialement ... !

[invite52487760]

et
ça vient du fait que :
Cordialement ... !

[invite52487760]

J'ecris n'importe quoi :

[Garf]

Uh ? Elle est vraie, cette erreur ?

Pour ma part, je pense que le résultat est beaucoup plus facile à démontrer en explicitant un homéomorphisme. Par exemple, on plonge la sphère dans en la centrant, disons, en (0,0,...,0,1) et en la prenant de rayon 1, puis en la projetant stéréographiquement sur le plan constitué des points dont la dernière coordonnée est nulle, que l'on peut identifier à , en prenant pour pôle le point (0,0,...,0,2). Ce point est lui envoyé sur le point à l'infini.

(quelques petites infos sur la projection stéréographique - il est trop tard pour que je cherche une meilleure référence. Dans mon exemple, on prend la sphère tangente au plan sur lequel on projette)

[God's Breath]

Bonsoir rhomuald,

Donc pour montrer que est homéomorphe à ,
je suis parti dans l'idée qu'il suffit de montrer que est homéomorphe à
(le compactifié du produit est le produit des compactifiés) .

Attention, le compactifié d'Alexandrov de est homéomorphe à , donc, par produit, est homéomorphe à (tore de dimension ), alors que est homéomorphe à , ce qui n'est pas la même chose.

Pour , est isomorphe à la sphère usuelle , et est isomorphe au tore usuel .

[invite52487760]

Uh ? Elle est vraie, cette erreur ?

Pour ma part, je pense que le résultat est beaucoup plus facile à démontrer en explicitant un homéomorphisme. Par exemple, on plonge la sphère dans en la centrant, disons, en (0,0,...,0,1) et en la prenant de rayon 1, puis en la projetant stéréographiquement sur le plan constitué des points dont la dernière coordonnée est nulle, que l'on peut identifier à , en prenant pour pôle le point (0,0,...,0,2). Ce point est lui envoyé sur le point à l'infini.

(quelques petites infos sur la projection stéréographique - il est trop tard pour que je cherche une meilleure référence. Dans mon exemple, on prend la sphère tangente au plan sur lequel on projette)

Explique un peu en detail ... ! erreur comme ça ... ?! sans argument ... ?

[Garf]

Par exemple, appartient à mais pas à ...

[invite52487760]

Oui, c'est vrai ... ! Merci ... !

[invite769a1844]

Bonsoir et merci pour vos réponses.

Effectivement j'ai abusément confondu le tore et la sphère :S ,
du coup je me rabats sur la méthode de Garf.

J'ai trouvé une explication qui tient à peu près le même raisonnement.

L'inversion de pôle et de puissance 1 dans , définie par

est une homéomorphie de sur lui-même.
Elle transforme l'hyperplan de en ,

où est la sphère de de diamètre , en appelant le point .

Comme l'application continue canonique de sur l'hyperplan de est une homéomorphie,
la bijection de sur est une homéomorphie.

Si l'on identifie par cette homéomorphie les espaces et ,
la sphère réalise la compactification cherchée de , son seul point à l'infini est le point .

Si on note l'hyperplan , comment montre-t'on que (par exemple pour ) ?