compactifie d alexandrov

[invite298f4897]

bonjour,

pouvez vous m'apporter quelques renseignements sur le compactifié d'alexandrov d'un espace topologique ( les ouverts...) .

j'ai un peu de mal à comprendre cette notion!!

merci à tous
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[inviteb47fe896]

L'espace qui est compactifié est localement compact; Alexandrov montre qu'en adjoignant un point ( dit quelque fois le point de l'infini dans le cas de la droite) à ce espace on obtient un espace compact. Les ouverts de ce nouvel espace sont constitués par les ouverts de l'espace initial qui ne contiennent pas le point ajouté et les complémentaires de ceux qui contiennent le point ajouté ; la réunion de ces deux ensembles vérifie la définition des "ouverts".

[invite298f4897]

merci eirtemoeg pour vos informations c'est un peu plus clair;

[invite6de5f0ac]

bonjour,

pouvez vous m'apporter quelques renseignements sur le compactifié d'alexandrov d'un espace topologique ( les ouverts...) .

j'ai un peu de mal à comprendre cette notion!!

merci à tous

Salut,

C'est en fait une astuce assez commode pour avoir un espace compact quand "il ne s'en faut que de très peu".

Soit un espace non compact. Son compactifié d'Alexandrov est , avec comme ouverts les ouverts de et les ensembles de la forme où est un ouvert de .

(ici est un "point" qui n'appartient pas à , la notation est seulement suggestive).

On vérifie facilement que est compact.

-- françois

P.S. - en me relisant, je crois bien qu'il faut une autre condition sur les ouverts , peut-être bien (je n'ai pas de doc sous la main) que le complémentaire de dans doit être compact... je vais vérifier ce week-end.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb47fe896]

Non ce sont les complémentaires de U union l'infini.

[invite6de5f0ac]

Non ce sont les complémentaires de X union l'infini.

Il me semblait bien que j'avais oublié quelque chose... Merci de m'avoir corrigé, sinon ce pauvre MATHIX partait sur une fausse piste!

-- françois

[invite35452583]

Il faut que l'espace de départ soit localement compact et séparé.
les ouverts sont les anciens +
les complémentaires des compacts de E auquel on adjoint le point à l'infini e. (E est l'espace initial)
Deux choses à vérifier pour E' (l'espace ainsi construit) :
1) on peut extraire une recouvrement fini de tout recouvrement d'ouverts
2) l'espace est séparé

1) un ouvert V contient le point à l'infini e.
Il reste un compact K à recouvrir ne contenant pas e.
Pour les ouverts contenant U autres que V, le complémentaire U' de e est un ouvert de E. Les ouverts ne contenant pas e restent inchangés U=U'.
On a un recouvrement d'ouverts U' de E recouvrant un compact K de E. on peut en extraire un recouvrement fini n.
Et n+1=fini.
2) Pour deux points de E c'est par hypothèse. Pour e et un point de E, c'est la locale compacité de E qui le fournit. Il existe K contenant un ouvert U contenant lui même le pointx que l'on veut séparer de e. U et E\K+e séparent x et e.

En prenant les complémentaires des ouverts le singleton devient un ouvert (complémentaire de E dans E union e est un ouvert de E' avec cette définition) et un fermé (complémentaire de E dans E'

[invite35452583]

Oups
E et e sont deux composantes connexes donc seul le singleton e est compact.

[invite35452583]

Petite remarque et compléments :
en prenant les complémentaires d'ouverts, on ne définit pas une topologie . En prenant les complémentaires de tous les fermés si mais mais ce n'est pas la bonne. En général, il y aura trop d'ouverts. Une topologie compacte ne supporte pas ses cousines : si (K, T) est un espace compact, si une topologie T1 contient strictement T, elle ne vérifie pas Borel-Lebesgue, si T1 est strictement incluse dans T elle ne vérifie pas la séparabilité. (Théorème non évident)

Il est indispensable de préciser séparé. Un espace localement compact peut ne pas être séparé, exemple : droite réelle à laquelle on ajoute un point O' dont une base de voisinages ouverts est les ouverts de 0 auxquels on retire 0 tout en ajoutant O'. (facile à vérifier)

Les exemples classiques de compactifiés d'Alexandroff (il y en a d'autres moins génériques) sont les sphères qui sont les compactifiés des espaces vectoriels réels (ou complexes) de dimension finie.
Un exemple d'application théorique (avec l'aide d'autres théorèmes). Un espace localement compact séparé a au plus le cardinal du continu.
étapes (toutes aussi délicates sauf la 1ère) de la démo :
un espace localement compact séparé sépare les fermés (pour deux fermés disjoints, il existe deux ouverts disjoints les contenant).
La propriété de séparation des fermés est équivalente à être métrisable (la topologie peut être définie par une distance).
Un espace compact métrique est séparable (un sous ensemble dénombrable est dense).
Ceci entraîne qu'un compact métrique a au plus la puissance du continu, et vu ce qui précède il en est de même des espaces localement compacts séparés.
C'est beau la topologie, non?

[inviteb47fe896]

Je dois m'excuser auprès de Mathix ; ma définition des ouverts de l'ensemble compactifié est mauvaise ; il faut donc retenir que les ouverts de l'espace compactifié sont 1) Les ouverts de l'espace initial 2) les unions du point ajouté avec les complémentaires des compacts de l'espace initial.