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la méthode de Cardan



  1. #1
    kantik

    la méthode de Cardan


    ------

    BONJOUR

    Notre professeur de maths pour repondre a une question concerant les resolutions des equations de 3e degré mentionna la demonstration historique. Il nous a parlé de Tartaglia, mathématicien italien du XVIe s., qui avait ecrit un poème dans lequel il avait caché la manière de résoudre ces équations, ce qu'il était l un des seuls a etre capable de faire a son époque.
    Son vrai nom etait Niccolo Fontana. La méthode qu il detaillait dans son poeme est aujourd'hui appellee Methode de Cardan, du nom de celui qui arriva a dechiffrer correctement le poeme et qui diffusa son contenu.

    Tous les details concernant cette histoire sont les bienvenus ^^. Merci d avance

    Le poeme étant en italien, si quelqu'un trouve une version traduite correctement en francais, ainsi que son interprétation, je serais ravie de l avoir

    Si mes souvenirs sont corrects la résolution se base sur une equation du type x³+px+q=0. Est-ce que quelqu'un pourrait-il en expliquer la méthode précise ??

    -----
    {La dictature c' est "ferme ta gueule", la démocratie c' est "cause toujours"}

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  3. #2
    Bleyblue

    Re : la methode de Cardan

    Pour l'anectode je ne sais pas mais pour la méthode :

    y = Ax³ + Bx² + Cx + D

    on divise tout par A (on peut supposer A non nul sinon ce n'est pas du premier degré) :

    y = x³ + bx² + cx + d

    en posant x = X - a/3 et en développant on arrive facilement à :

    y = X³ + pX + q

    p et q étant des constantes qui dépendent de a b et c

    ici on pose X = u + v

    et à nouveau on développe (je passe les calculs car c'est long) :

    y = u³ + v³ + q + (u + v)(3uv + p)

    Si on parvient à trouver deux nombres u et v tels que :

    u³ + v³ = -q
    3uv = -p

    on aura trouvé une solution de l'équation de départ.

    ->

    u³ + v³ = -q
    u³v³ = -p³/27

    On est donc ramené à trouver deux nombres p et q dont on connait la somme S et le produit P.
    Oui mais alors ces deux nombres sont solutions de l'équation :

    z² - Sz + P = 0

    z² +qz - p³/27 = 0

    z =





    et donc :



    une fois qu'on possède une solution on peut trouverr les autres en factorisant le polynôme de départ ...

  4. #3
    Bleyblue

    Re : la methode de Cardan

    Citation Envoyé par kantik
    Son vrai nom etait Niccolo Fontana. La méthode qu il detaillait dans son poeme est aujourd'hui appellee Methode de Cardan, du nom de celui qui arriva a dechiffrer correctement le poeme et qui diffusa son contenu.
    Moi j'ai entendut une version selon laquelle c'est Tartaglia, Del Ferro et Cardano qui ont découvert la formule, Cardano n'ayant fait en gros que la diffuser s'appropriant ainsi la gloire qui aurait du revenir à autrui.

  5. #4
    homotopie

    Re : la methode de Cardan

    Attention, il ne suffit pas que , il faut que
    La formule n'est valable que si toutes les racines sont réelles. Et, le discriminant q²+4p^3/27 n'est pas nécessairement positif, les complexes peuvent donc apparaître dès ce niveau même avec un polynôme à coefficients réels.
    Parmi les 3 possibilités et les 3 autres
    avec où z_1 et z_2 sont les solutions de l'équation du second degré, il y a 9 produits possibles. 3 valent -p/3, 3 valent -j.p/3 et 3 valent -j².p/3. Six couples sont donc à exclure.
    Une fois qu'on a un couple (u,v) solution les deux autres sont (j.u,j².v) et (j².u, j.v) car j.j²=1.
    Les solutions de x^3+px+q sont alors
    u+v, j.u+j².v et j².u+j.v.

    Pour l'anecdote, je n'en sais rien.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    homotopie

    Re : la methode de Cardan

    Ouh là, je viens seulement de faire attention à l'age de kantik. Je suppose que tu ne connais pas encore les complexes donc oublie mon post auquel tu auras du mal à comprendre.
    Désolé

  8. #6
    kantik

    Smile Re : la methode de Cardan

    Merci pour les reponses ^^. En effet, je suis en 1eS donc on ne connait pas encore les nombres complexes, ce sera pour plus tard. Si je ne me trompe pas, ils interviennent dans la resolution des equations du 2e degré dans le cas ou le discriminant est negatif, no? Notre professeur de maths nous a dit que ca avait un rapport avec le fait de resoudre des racines carrees de nombres negatifs... ca me semble bizarre tt ca mais bon ^^
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  10. #7
    martini_bird

    Re : la methode de Cardan

    Salut,

    l'histoire de la découverte de la méthode de résolution des équations de troisième degré est assez floue et entourée par bien des éléments qui relèvent plus de la légende que de l'histoire.

    Il semble que Scipione del Ferro (1465-1526) soit le premier à résoudre l'équation mais il n'a jamais publié sa solution. Il aurait néanmoins révélé à son élève Antonio Maria Fior sa méthode.

    On dit de Nicola Tartaglia (v. 1500-1557) qu'il était sans scrupule et s'appropriait facilement les découvertes d'autrui. Toujours est-il qu'en 1841, de façon indépendante ou en ayant eu vent des idées de Scipione, il dispose d'une méthode pour résoudre les équations cubiques.

    Fior mis au courant croit à une fumisterie et lui lance un défi (chose courante à l'époque): tandis que Tartaglia a pu résoudre les trentes équations de Fior, ce dernier ne put en résoudre une seule, ne connaissant que le cas .

    Cardan informé du triomphe de Tartaglia l'invite et lui promet de lui présenter un mécène. En 1539, Tartaglia lui dévoile sa méthode et Cardan se l'approprie rapidement en la publiant dans son Ars Magna. Tartaglia proteste mais Ludovico Ferrari (1522-1565), élève et secrétaire de Cardan, accuse ce dernier d'avoir plagié del Ferro: s'en suit une âpre dispute dont il paraît que Tartaglia s'en est sortit de peu.

    Enfin, Rafael Bombelli (v. 1526-1573) publie en 1572 son Algèbre qui, en intégrant la possibilité de nombres imaginaires, ouvre la voie à une des plus fertiles idées en mathématiques.

    Source: Histoire des mathématiques, tome 1, Colette.

    Cordialement.
    Dernière modification par martini_bird ; 11/02/2006 à 19h09.

  11. #8
    kantik

    Re : la methode de Cardan

    Je viens de trouver un site qui propose la fameuse méthode de Cardan .

    voici le lien pour ceux que ca pourrait interesser:
    http://www.math93.com/equation.htm#cardan
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  12. #9
    nissart7831

    Re : la methode de Cardan

    Citation Envoyé par martini_bird
    On dit de Nicola Tartaglia (v. 1500-1557) qu'il était sans scrupule et s'appropriait facilement les découvertes d'autrui. Toujours est-il qu'en 1841, de façon indépendante ou en ayant eu vent des idées de Scipione, il dispose d'une méthode pour résoudre les équations cubiques.
    Ouah, ça conserve bien de faire des maths

  13. #10
    martini_bird

    Re : la methode de Cardan

    Citation Envoyé par nissart7831
    Ouah, ça conserve bien de faire des maths


    Blague à part, Hadamard et de La Vallée Poussin, qui ont démontré de manière indépendante le théorème des nombres premiers, sont morts presque centenaires...

  14. #11
    nissart7831

    Re : la methode de Cardan

    Citation Envoyé par martini_bird


    Blague à part, Hadamard et de La Vallée Poussin, qui ont démontré de manière indépendante le théorème des nombres premiers, sont morts presque centenaires...
    Et Henri Cartan (pas Cardan ), membre fondateur du groupe Bourbaki, a passé allégrement les 100 ans (né en 1904).

  15. #12
    Bleyblue

    Re : la methode de Cardan

    Citation Envoyé par homotopie
    La formule n'est valable que si toutes les racines sont réelles.
    Je ne savais pas ça. Je pensais qu'elle était valable dans C moi la formule de cardan.
    De toute façon si on remplace les par i je pense que ça fonctionne bien non ?

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  17. #13
    Bleyblue

    Re : la methode de Cardan

    Citation Envoyé par Martini_bird
    On dit de Nicola Tartaglia (v. 1500-1557) qu'il était sans scrupule et s'appropriait facilement les découvertes d'autrui
    Ca m'étonne ça
    Notre professeur nous a plutôt présenté Tartaglia comme un pauvre orphelin ayant été sauvagement mutilé par des soldats (français ) lors d'un raide de ceux-ci sur sa ville natale, Brescia.
    Les blessures dont il souffait l'empêchaient de s'exprimer correctement ce qui amena les enfants à le surnomer Tartaglia (= bègue en Italien)

    Ce serait plutôt Cardan (selon mon professeur) qui se serait approprié la formule découverte par Tartaglia

  18. #14
    martini_bird

    Re : la methode de Cardan

    Salut,

    en effet son père est assassiné au cours d'une de ces tournées (il était facteur) lorsqu'il a six ans. A l'âge de douxe ans il est gravement blessé au visage lors du sac de Brescia.

    On dit de Nicola Tartaglia (v. 1500-1557) qu'il était sans scrupule et s'appropriait facilement les découvertes d'autrui.
    C'est certainement la version officielle qui a circulé à l'époque. Difficile de tout vérifier, mais en tout cas le contexte ressemble plus à une histoire de brigands que de savants...

    Cordialement.

  19. #15
    Bleyblue

    Re : la methode de Cardan

    Ah bon.

    Un jour je vais m'y mettre, à l'histoire des math.
    Je ne sais pas quand mais ça va venire ...

  20. #16
    martini_bird

    Re : la methode de Cardan


  21. #17
    kantik

    Thumbs up Re : la methode de Cardan

    Citation Envoyé par martini_bird
    Genial le site ^^ super detaillé

    le lien pour Tartaglia> http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~...Tartaglia.html

    le lien pour Cardan> http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~...ns/Cardan.html

    Il y a meme un article special intitulé "Tartaglia versus Cardan" > http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~..._v_Cardan.html

    Selon ces liens, "Tartaglia divulged his formula in the form of a poem, to help protect the secret, should the paper fall into the wrong hands". Donc ce poeme a bel et bien existé ^^
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