la droite projective complexe P(C)

[invite298f4897]

BONJOUR,

existe-t-il un rapport ( homeomorphisme?) entre la droite projective complexe et le compactifie d'alexandroff de C?

j'ai un peu de mal à m'y retrouver avec ces espaces!!

merci pour vos réponses
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[invite35452583]

Oui, ils sont tous les deux isomorphes et le sont à la sphère S2 avec la topologie classique (ça se complique pour n>1).

Je ne sais plus si on peut démonter cela de manière simple en tout cas pour la droite projective complexe.
Voici une esquisse de preuve :
est le quotient comme groupe topologique de par l'opération de x.(y,z)=(xy,xz). La topologie est la topologie quotiente.
est homéomorphe en tant que groupe à .
est homéomorphe en tant qu'espace à .
étant les vecteurs unitaires.
opère sur par l'opération produit (r,u).(k,v)=(rk,uv).
Ces deux homéomorphismes commutent avec les opérations de et de . est donc le quotient topologique de par .
Or l'opération de sur coïncide avec la multiplication des complexes unitaires avec les quaternions unitaires. Ce dernier a une opération naturelle sur qui garde globalement stable. opère transitivement sur . Il découle de ceci que est aussi l'espace quotient de par .
Malheureusement, je doute que ça t'aide à comprendre.

Pour l'homéomorphisme du complexifié d'Alexandroff de C avec , il y a un moyen plus simple (et qui permet de manipuler cette topologie, bon exercice).
C est homéomorphe à . On considère une sphère posée sur un plan P, S est le sommet le plus haut. Chaque point de est projeté à partir de S sur le plan. S est envoyé à l'infini. On vérifie aisément (avec la définition que j'ai rappelée au post "compactification d'Alexandroff") qu'il y a homéomorphisme.

[invite298f4897]

MERCI HOMOTOPIE POUR TA REPONSE DEVELOPPEE;

[martini_bird]

Salut,

simplement pour compléter: la transformation décrite à la fin du message s'appelle la projection stéréographique.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Merci martini-bird, je ne retrouvais plus le nom.