limsup liminf

[invitebb921944]

Bonjour,

J'essaie en ce moment d'apprendre la théorie de la mesure (après toute une année passée à tenter de comprendre les probabilités et l'analyse fonctionnelle en passant outre ce monument (je ne vous cache pas que c'est difficile !)).
Je commence donc par ce que j'ai pu trouver sur un TD de l'ENS et qui m'a toujours semblé bien obscur : la liminf et la limsup.

On me donne donc la définition suivante :
et la définition correspondante pour liminf.

On me demande d'abord de vérifier que ces deux définitions ont bien un sens et on me dit que oui car (pour prendre l'exemple de limsup), la suite est décroissante, elle admet donc une limite dans .
Bon là j'ai un problème.
La suite donnée est effectivement décroissante. En effet je prends le sup d'un ensemble de réels, puis je réduis cet ensemble en faisant tendre n vers l'infini, le sup est donc pris dans un sous-ensemble de cet ensemble de départ et est donc nécessairement inférieur ou égal au sup initial (j'espère avoir été clair).

Cela dit, je ne vois pas du tout en quoi ce sup ne pourrait pas être égal à +l'infini. Si je prends par exemple la suite :
(1,2,3,4,...)
On a que pour tout n, non ? En fait leur suite est bien décroissante mais je ne vois pas pourquoi elle ne pourrait être constante égale à l'infini.

Merci pour votre aide !
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[invite57a1e779]

Il doit y avoir une coquille de mise en forme : comme tu l'as très bien vu, les limites définies par les inf et les sup sont monotones, donc convergentes, mais dans seulement.
La limite supérieure est la plus grande valeur de la suite, et la limite inférieure la plus petite valeur d'adhérence.
On a, par exemple, , mais , ce qui montre que l'on ne peut pas restreindre les valeurs de la limite supérieure et de la limite inférieure à quelque chose de "plus petit" que

[invitebb921944]

La plus grande valeur de la suite en valeur absolue ? Parce que sinon je ne vois pas pourquoi sachant que . En tout cas merci pour tes éclaircissements.
Ca s'annonce relativement mal pour moi s'il y a déjà une erreur dans la première correction du TD mais l'espoir fait vivre (et puis l'erreur est humaine, même pour une normalienne !)

[invite769a1844]

Bonsoir,

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Bonjour Ganash,

La plus grande valeur de la suite en valeur absolue ? Parce que sinon je ne vois pas pourquoi sachant que .

Même un normalien peut faire une erreur, même dans un texte de trois phrases. Je voulais bien évidemment écrire

La limite supérieure est la plus grande valeur d'adhérence de la suite, et la limite inférieure la plus petite valeur d'adhérence.

[invitebb921944]

Même un normalien peut faire une erreur, même dans un texte de trois phrases. Je voulais bien évidemment écrire

Je ne parlais pas de toi mais de l'auteur du TD que j'ai trouvé sur internet (qui cela dit en passant est vraiment très interessant !)

Bonsoir,

et


Je ne vois pas pourquoi tu rajoutes un moins

[invite769a1844]

et


Je ne vois pas pourquoi tu rajoutes un moins

Je suis d'accord avec toi, tu viens de montrer directement à partir de la définition de et ,

je partais en fait de l'hypothèse que tu avais admis que .

Pour les suites numériques (finies ou non), on a le résultat suivant:

(tu dois sûrement déjà connaître la relation ).

Par cette relation sachant que , on en déduit que .


Mais il vaut peut être mieux le voir comme a dit gb:

Pour une suite numérique , en notant l'ensemble des valeurs d'adhérence de ,
on a par définition d'une valeur d'adhérence de ,

, avec ,

et

, .

si converge dans vers une limite , alors ,

et donc ,

ce qui est le cas pour les suites et .

[invitebb921944]

Au temps pour moi je n'avais pas vu que tu avais changé le signe de n dans la liminf.
Merci pour tous ces éclaircissements !