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encore une liminf d'intégrale



  1. #1
    edpiste

    encore une liminf d'intégrale


    ------

    Bonjour à tous. Je reviens sur un problème que j'avais déjà posté il y a quelque temps et que j'ai réussi à mettre dans les termes plsu simples suivants :

    Peut-on trouver une fonction G positive telle que

    ?

    Sachant que les quantités considérées sont finies.
    Toute idée bien venue.

    -----

  2. #2
    rvz

    Re : encore une liminf d'intégrale

    Salut,

    Une idée comme ça : En fait, quand tu regardes tes intégrales, ça correspond à charger l'intégrale de ta fonction près de \beta et ce sur un intervalle de longueur 1 (je sais, ce que je dis est flou, mais si tu traces tes paraboles, c'est clair)

    Du coup, je ne suis pas sûr que ça marche, mais si tu tentes des pics, disons tous les demi entiers pour être sûrs, avec des pics tels que la norme L^1 est le terme général d'une série convergente mais tel que l'intégrale du pic° la fonction carré soit non négligeable (genre d'ordre 1), je pense que tu peux réussir à construire quelque chose qui vérifie ce que tu veux.

    J'avoue ne pas l'avoir écrit en détail, mais je pense que ça peut marcher.
    __
    rvz, élevé par un prof qui prétendait que tous les contre exemples étaient les pics, les oscillations, et les bosses qui vont à l'infini

  3. #3
    edpiste

    Re : encore une liminf d'intégrale

    Citation Envoyé par rvz Voir le message
    Salut,

    Une idée comme ça : En fait, quand tu regardes tes intégrales, ça correspond à charger l'intégrale de ta fonction près de \beta et ce sur un intervalle de longueur 1 (je sais, ce que je dis est flou, mais si tu traces tes paraboles, c'est clair)

    Du coup, je ne suis pas sûr que ça marche, mais si tu tentes des pics, disons tous les demi entiers pour être sûrs, avec des pics tels que la norme L^1 est le terme général d'une série convergente mais tel que l'intégrale du pic° la fonction carré soit non négligeable (genre d'ordre 1), je pense que tu peux réussir à construire quelque chose qui vérifie ce que tu veux.

    J'avoue ne pas l'avoir écrit en détail, mais je pense que ça peut marcher.
    __
    rvz, élevé par un prof qui prétendait que tous les contre exemples étaient les pics, les oscillations, et les bosses qui vont à l'infini
    Merci pour ta réponse. Je crains toutefois que ce genre de raisonnement permette juste de conclure que la limsup est positive, non ? Ou alors, il faut que les pics soient plus nombreux ou plus étalés peut-être (mais là ça pose de nouveau problème pour la convergence de l'intégrale à beta fixé).

  4. #4
    edpiste

    Re : encore une liminf d'intégrale

    Deuxième commentaire, car j'avais mal compris ton message. Si on regarde le problème plus simple :
    ,
    un changement de variable évident montre que cette quantité converge toujours vers 0. Il n'y a donc pas de contre-exemple.
    Dans ton idée avec les pics, j'ai l'impression que tu fais commuter la translation de constante beta et la fonction carré, ce qui pose problème, non ?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    ParkerLewis

    Re : encore une liminf d'intégrale

    Salut,

    excuse-moi, mais je ne saisis pas le sens du "liminf".

    Si c'est lim (inf (ton integrale)), il faut préciser sur quoi est ton inf. s'il est sur beta, comme la limite, alors ca n'a pas de sens, car inf(qqchose) sur beta renvoie quelque chose dont la valeur ne contient pas beta
    (ex : inf (beta) sur beta élément de R = -infini), et donc lim (quand beta->+infini) de cet inf sera juste égal à cet inf.

    enfin, je me dis que je ne comprends peut-être pas ton liminf comme il le faudrait. peux-tu l'éclaircir ?

  7. #6
    edpiste

    Re : encore une liminf d'intégrale

    Si une suite ne converge pas, on peut regarder sa plus grande et sa plus petite valeur d'adhérence. Par exemple, la suite de terme général ne converge pas mais la suite des termes pairs tend vers 1 et celle des termes impairs converge vers -1. Si est une sous-suite convergente, alors ses termes valent tous 1 ou -1 et donc la limite de cette sous-suite est soit -1, soit 1. On dit alors que -1 est la liminf et 1 la limsup de .

    Ces notions se généralisent à n'importe quelle suite et donc à n'importe quelle fonction dépendant d'un paramètre ( dans mon problème).
    Tu trouveras la définition de la liminf et la limsup dans tout bon livre d'analyse de taupe, par exemple le Ramis-Deschamps-Odoux.

  8. #7
    rvz

    Re : encore une liminf d'intégrale

    Citation Envoyé par edpiste Voir le message
    Deuxième commentaire, car j'avais mal compris ton message. Si on regarde le problème plus simple :
    ,
    un changement de variable évident montre que cette quantité converge toujours vers 0. Il n'y a donc pas de contre-exemple.
    Dans ton idée avec les pics, j'ai l'impression que tu fais commuter la translation de constante beta et la fonction carré, ce qui pose problème, non ?
    Salut,

    Effectivement, si tu ne mets pas de carré, tu as aucune chance. Par contre, avec les carrés, il y a de l'espoir.
    En effet, ça revient à charger beaucoup sur l'intervalle [\beta,\beta+1], et peu ailleurs, donc si tu mets des pics disons tous les 1/2, tu as une chance que les liminf soient uniformément minorées avec des intégrales toujours définies, tout simplement parce que l'intervalle sur lequel tu charges va forcément rencontrer un des pics.

    J'avoue que tout cela n'est pas très clair, mais je n'ai pas trop le temps de regarder ça en détail ces jours ci, désolé.

    __
    rvz

  9. #8
    edpiste

    Re : encore une liminf d'intégrale

    Merci pour la clarification. Je vais essayer de reprendre ta suggestion et voir si j'aboutis à quelque chose.

  10. #9
    ParkerLewis

    Re : encore une liminf d'intégrale

    Citation Envoyé par edpiste Voir le message
    Si une suite ne converge pas, on peut regarder sa plus grande et sa plus petite valeur d'adhérence. Par exemple, la suite de terme général ne converge pas mais la suite des termes pairs tend vers 1 et celle des termes impairs converge vers -1. Si est une sous-suite convergente, alors ses termes valent tous 1 ou -1 et donc la limite de cette sous-suite est soit -1, soit 1. On dit alors que -1 est la liminf et 1 la limsup de .

    Ces notions se généralisent à n'importe quelle suite et donc à n'importe quelle fonction dépendant d'un paramètre ( dans mon problème).
    Tu trouveras la définition de la liminf et la limsup dans tout bon livre d'analyse de taupe, par exemple le Ramis-Deschamps-Odoux.
    D'accord, merci. Je suis passé par mpsi/mp* et je n'avais jamais rencontré cette dénomination !

    Mais si "j'étends" cela aux cas des fonctions, cela revient à calculer lim (A->+infini) de (inf sur beta >= A de ton intégrale).

    Bon alors on fait le changement de variable v² = u²+beta. on obtient une intégrale de (beta) à (+infini) de G(v²)*v/sqrt(v²-beta) dv.

    Pour beta assez grand, en particulier beta>= sqrt(4*beta/3), on peut majorer v/sqrt(v²-beta) par 2 (car v>=beta donc, v>=sqrt(4*beta/3)).

    donc l'intégrale est inférieure ou égale à intégrale de beta à +infini de 2*G(v²) dv.

    Et comme cette intégrale tend vers 0 quand beta->+infini (car f : v->G(v²) est intégrable d'après l'énoncé), le résultat est de toute façon 0, et il n'y avait pas besoin d'une liminf étrange

    voilà j'espère que je n'ai pas fait d'erreur... ce n'est pas toujours évident quand on n'est plus dans le bain !

  11. #10
    rvz

    Re : encore une liminf d'intégrale

    Citation Envoyé par ParkerLewis Voir le message
    Bon alors on fait le changement de variable v² = u²+beta. on obtient une intégrale de (
    RACINE de beta) à (+infini) de G(v²)*v/sqrt(v²-beta) dv.

    Pour beta assez grand, en particulier beta>= sqrt(4*beta/3), on peut majorer v/sqrt(v²-beta) par 2 (car v>=beta donc, v>=sqrt(4*beta/3)).
    Salut,

    Cela m'étonne beaucoup : Au voisinage de racine de beta, ce que tu majores par 2 tend vers + l'infini.

    J'en profite pour reglisser mon interprétation : Tu "charges" près de beta.

    __
    rvz, qui est resté perplexe un bon moment devant cette preuve contre intuitive : Mais bon, l'erreur est humaine

  12. #11
    ParkerLewis

    Re : encore une liminf d'intégrale

    arf, dsl, la boulette de base avec la racine de beta.

    bon, ben, je remballe

    (après avoir essayé de faire coller malgré tout en séparant en deux termes de façon à ce que le deuxieme verifie la majoration)

  13. #12
    edpiste

    Re : encore une liminf d'intégrale

    Citation Envoyé par rvz Voir le message
    J'en profite pour reglisser mon interprétation : Tu "charges" près de beta.
    J'ai fait les calculs, je suis sûr maintenant qu'il n'y a pas de contre-exemple de type : pics de hauteur variable et de largeur fixée (largeur 1 dans ton idée de départ).
    Je pense que si un contre-exemple de ce genre existe, il faut des pics qui rétrécissent.
    Je regarde ça et je vous envoie le détail quand c'est prêt.

    PS: pour Parkerlewis, la liminf est vraiment cruciael. J'ai un exemple ou la limsup est +infty et la liminf 0...

  14. #13
    rvz

    Re : encore une liminf d'intégrale

    Re S,

    Bon, bah tant pis, j'ai peur que tu sois bon pour prendre des pics de largeur a_n et de hauteur b_n tous les demi-entiers...

    Bon courage,
    __
    rvz

  15. #14
    edpiste

    Re : encore une liminf d'intégrale

    Citation Envoyé par rvz Voir le message
    Re S,

    Bon, bah tant pis, j'ai peur que tu sois bon pour prendre des pics de largeur a_n et de hauteur b_n tous les demi-entiers...

    Bon courage,
    __
    rvz
    C'est ce que je fais en ce moment. A suivre.

  16. #15
    edpiste

    Re : encore une liminf d'intégrale

    Voilà, j'ai poussé l'idée de rvz zt je crois que ça ne donne rien pour l'instant, grmf.
    On veut un contre-exemple s'écrivant comme une somme de pics. Je prends donc un "pic" de référence, noté qui peut-être n'importe quelle fonction positive à support compact. Disons que le support de est l'intervalle .

    Je pose :

    .

    Remarquons que si , est nulle.
    Pour , a une certaine valeur positive qui ne m'intéresse pas pour l'heure.
    Pour , il vient par le chgt de variable ,



    Regardons à présent une fonction ayant des pics aux points , de hauteur et de largeur :

    .

    J'impose tout de suite pour que soit continue.

    On a alors



    Pour que cette série soit convergente à fixé, il faut que



    ce que je suppose dorénavant.
    D'autre part, l'idée de rvz est de regarder la masse donnée par l'intégrale au voisinage de . Au regard des propriétés de ,

    est minoré si

    . Soit encore,

    .

    Pour couvrir ainsi tous les beta qui tendent vers l'infini, il faut s'assurer que les supports des bosses se recoupent.
    Or, on veut minorer


    ,

    pour le k réalisant et en imposant que la masse reste minorée, i.e. .

    Résumons ce que nous voulons pour que l'argument fonctionne :

    1.

    2.

    3.

    et 4. les supports des bosses se recoupent.

    En utilisant les conditions 2 et 3, on voit que doit être petit par rapport à et les supports des bosses ne peuvent se recouper.

  17. #16
    edpiste

    Re : encore une liminf d'intégrale

    Quelques extensions possibles : ne pas choisir à support compact mais un truc qui génère une fonction qui tend moins vite vers 0 en . Sans doute une fonction non intégrable mais telle que l'est donnera de meilleurs résultats.

    Ou bien ne pas négliger les autres termes de la série dans la minoration (mais je n'y crois pas trop).

    Je m'y colle mais si vous avez de nouvelles idées, je suis preneur.

  18. #17
    rvz

    Re : encore une liminf d'intégrale

    Resalut,

    Dis moi, je ne comprends pas pourquoi tu prends ta suite h_k dans l^1. A priori on s'en fout, parce que les supports de tes pics ne se rencontrent pas (ou peu). Je dis des bêtises ?

    En tout cas, beau travail. Et si ça ne marche vraiment pas, il va peut-être falloir essayer de démontrer que c'est impossible, mais par contre-là, je n'ai aucune idée de comment aborder ça.

    Bon courage,
    __
    rvz

  19. #18
    edpiste

    Re : encore une liminf d'intégrale

    Il faut que les supports se touchent parce que sinon, on a aucune info sur la liminf (il suffirait de prendre une suite de betas qui vit à l'extérieur des supports et là on ne pourrait plus minorer comme tu le proposais dans ton idée de départ).
    De toute façon, la condition h_k dans l^1 n'apparait pas vraiment dans le calcul.
    Je suis presque sûr maintenant que ce type de contre-exemple ne peut rien donner et je ne sais même plus conjecturer si la réponse à la question est oui ou non !

  20. #19
    edpiste

    Re : encore une liminf d'intégrale

    Une autre idée que je n'arrive pas à complètement exploiter :





    Or, par un DL classique, , où

    Donc,
    ,

    est dans (puisque ).

    Après, je suis plus sûr parce que je commence à fatiguer.
    Ca vous inspire ?

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