une liminf d'intégrale un peu tatillonne

[edpiste]

Soit une fonction (régulière, strictement) positive, (strictement) croissante, telle que



A-t-on toujours



?

Le résultat est vrai si est convexe ou si pour un , est croissante. Quid du cas général ?
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[invite6b1e2c2e]

Salut,

Je dirais que dans le cas général, c'est faux. En effet, il suffit prendre 'F(t) - F(a)= (t-a)^2 F''(a)' une infinité de fois, ie d'annuler la dérivée première une infinité de fois avec une dérivée seconde sympathique.
Essaye un truc du type f(x) = x + sin(x).
Dans ce cas, f'(x) = 1 + cos(x) et f''(x) = -sin(x).
Donc tu vas avoir une infinité de points a où ton intégrale est équivalente en a à un truc pas intégrable. D'où le contreexemple...

__
rvz

[edpiste]

Je ne crois pas que ton argument soit valable :

1. D'abord, si , ne vérifie pas la condition d'intégrabilité .

2. Sinon, on pourrait prendre par exemple définie par et
, ce qui correspond je crois à ton idée de départ.
Dans ces conditions, la limsup vaut mais la liminf reste zero...

[invite6b1e2c2e]

Je ne crois pas que ton argument soit valable :

1. D'abord, si , ne vérifie pas la condition d'intégrabilité .

2. Sinon, on pourrait prendre par exemple définie par et
, ce qui correspond je crois à ton idée de départ.
Dans ces conditions, la limsup vaut mais la liminf reste zero...

Comment dire ? Je ne suis pas bien réveillé, désolé, je n'avais pas vu la liminf.

Effectivement, comme ça je ne vois pas de contre exemple, mais j'ai l'intime conviction que c'est faux sans hypothèse sur f.

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rvz, pour une deuxième réponse encore plus inutile que la précédente

Edit : Tu es sûr que la liminf reste zéro dans l'exemple que tu donnes ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[edpiste]

J'ai une preuve mais il n'y a pas assez de place dans la marge pour...
Plus sérieusement, j'ai une preuve. Je te l'envoie par e-mail (préciser l'adresse par mp) si tu souhaites, c'est trop long pour mettre ici.
J'ai la même intuition que toi sur le résultat mais je ne sais pas construire de contre-exemple.

[edpiste]

Précision sur mon précédent post : j'ai juste une preuve de ce que j'annonçais sur le cas particulier F'=t^2(1+cos t).
Le cas général reste toujours ouvert.