Une histoire de divisibilité

[invite1237a629]

Plop !

J'ai lu un passage dans un bouquin hier et je n'ai pas compris une implication...



Mici bicoup pour toute réponse, comme d'hab !
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[Médiat]

Glonck !

Salut gentille Molette

Soit n la puissance de p dans la décomposition de a, pour que , IFS et comme un nombre impair ne peut être égal à un nombre pair, on a en fait (la suite est facile).

Médiat

[invite1237a629]

Glonck !

Salut gentille Molette

Soit n la puissance de p dans la décomposition de a, pour que , IFS et comme un nombre impair ne peut être égal à un nombre pair, on a en fait (la suite est facile).

Médiat

Bonjour Médiat et Merci (hem... joking ), c'est parfait !



Petit PS : IFS ? intelligent, farceur mais sage ?

[invite787dfb08]

La suite pourrait elle être rapidement explicitée

Merci d'avance

+++

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1237a629]

Donc on en est restés à , où n est, ne l'oublions pas, la puissance de p dans la décomposition de a.

Donc , ce qui revient à dire que puisqu'on travaille sur les entiers !

Donc comme par définition, alors


est-ce clair ?


Et prof Médiat, cela paraît-il juste ?

[Médiat]

IFS ? intelligent, farceur mais sage ?

Vile flatteuse !

Et prof Médiat, cela paraît-il juste ?

Oui .

[invite1237a629]

Vile flatteuse !

Crois-moi ou pas, c'est venu au hasard, mais j'ai trouvé ça approprié

Si ça peut intéresser, ça fait partie d'une démonstration dans la théorie des nombres : l'irrationalité de (d non carré parfait bien sûr ^^) (Théorie des nombres chez Dunod) :

Raisonnement par l'absurde

Supposons , a et b premiers entre eux.
(1)

Comme d n'est pas un carré, il existe un facteur premier p et un entier k tq où .

(1) se réécrit (2)

Alors et donc et on écrit .

(2) se réécrit alors
d'où

On constate que p divise mais ne divise pas . Donc et par suite .

: contradiction

[invite787dfb08]

Merci Molette

La précédente démo est très belle aussi, j'avais presque la même pour montrer l'irrationalité de racine de 2...

+++

[invite2220c077]

Salut la clé à Molette,

Une autre démonstration, plus rapide ... On va montrer que () est soit entier soit irrationnel

Supposons que est rationnel. Soit la valuation p-adique de l'entier .

Nous avons, compte tenu du fait que :



ou encore

car est un nombre entier. D'où

[invite1237a629]

Salut zweig !

Hmm je crois voir l'idée générale, mais ta dernière ligne me semble bizarre

Le truc c'est où montres-tu que c'est irrationnel si ce n'est pas un entier naturel ?

[inviteee57e7e1]

C'est de la logique, en fait tu distingues 2 cas:

- 1er cas: il est rationnel; Zweig a fait la démo, il est alors entier
- 2ème cas (implicite): il est irrationnel

Ces 2 cas suffisent, car tout réel est soir rationnel soir irrationnel;
étant de plus disjoints (les cas!), le nombre en question est soit entier, soit irrationnel.

[invite2220c077]

Oui c'est ça loweekee. J'ai fait passer sous silence le cas où était irrationnel.

Bon, c'était un peu rapide la démo, j'vais plus détailler alors.

Nous disposons des formules suivantes :

- (1)

- pour tout nombre premier p (2)

- . Ainsi,

(3)

D'après (1), on a :

Or est un nombre entier positif par définition, donc , donc . Or est supposé rationnel, et d'après (3), on en déduit alors que est un entier.

On démontre de la même manière que est soit entier, soit irrationnel.

[inviteaf1870ed]

Pour cette dernière affirmation, j'aime bien la démo niveau Terminale suivante :

1-On démontre que si un nombre rationnel p/q (avec p et q premiers entre eux) est solution de l'équation à coefficients entiers

a_nXⁿ+a_n-1X^n-1+....+a₀=0

alors q divise a_n et p divise a₀

2-On considère les solutions de l'équation Xⁿ=d

[invite2220c077]

Ah oui, c'est pa smal comme ça

[invitea250c65c]

Je vous propose une autre démo pour la racine n-ième (elle est de moi donc il y a peut-être une petite erreur quelque part) :

Soient a et b deux entiers naturels strictement positifs et

Lemme : si a et b sont premiers entre eux alors et le sont également (peut se montrer par récurrence par exemple).

Démo : soit a tel que est irrationnel (on sait que a existe, cf carrés parfaits). Il existe donc p et q entiers naturels non nuls premiers entre eux tels que soit . et étant premiers entre eux (cf lemme), d'après le théorème de Gauss, divise a i.e. il existe tel que , donc s'écrit soit d'où q=1 et : toute racine n-ième d'un entier rationnelle est entière.

[invite02e16773]

Bonjour

Je ne connais rien en théorie des nombres... mais ça veut dire quoi, IFS ?

Merci bien

[Médiat]

mais ça veut dire quoi, IFS ?

Ce n'est pas spécifique de la théorie des nombres : IFS = Il Faut et il Suffit.

[inviteee57e7e1]

soit a tel que est irrationnel (on sait que a existe, cf carrés parfaits).

Plutôt rationnel non?

@Guillaume : IFS = Il Faut et il Suffit; peut aussi dire: une CNS est... (Condition Nécessaire et Suffisante)

edit: désolé pour le doublon...

@Electrofred: tu n'as même pas à justifier l'existence d'un tel a, logiquement parlant

[invitea250c65c]

Plutôt rationnel non?

En effet, c'est mieux .

@Electrofred: tu n'as même pas à justifier l'existence d'un tel a, logiquement parlant

Oui c'est vrai, le but n'étant pas de montrer l'existence de racines rationnelles ...

Merci.

[invite1237a629]

Désolée pour le retard de réponse

Mais merci à tous pour vos démos, elles sont vraiment charmantes (surtout celle avec les valuations p-adiques, que j'ai enfin compris lol !)