Raisonnement, ensembles

invite787dfb08 · 16/07/2008, 07h50

Hello

Je prépare les cours de maths de MPSI avec ce cours : http://asoyeur.free.fr/fichiers_ps/c...cours_mpsi.pdf

J'en suis donc au début du chapitre 1 : Raisonnement et Ensembles...

J'essaie de faire les exemples et exercices, mais ils ne sont pas corrigés...

C'est pourquoi j'apprécierai beaucoup de votre part une rapide correction, et des conseils

. Les quelques premiers exos ont l'air basiques, je pense qu'un coup d'oeil vous suffira...

Merci +++

GalaxieA440

Exemple 1

On suppose un nombre réel x supérieur ou égal à 0, et les deux propositions :
-A : Pour tout réel $\text{[math]}$ strictement positif, $\text{[math]}$
-B : x=0
Montrer que $\text{[math]}$

(d'après le plan du cours, il s'agit de le montrer par raisonement direct ou par contraposition...)

Solution :

Soit un réel, $\text{[math]}$

On remarque que si $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$

On montre ainsi que $\text{[math]}$
Et donc : $\text{[math]}$

Est-ce bon ? Je ne suis pas sur et certain d'avoir correctement montrer que non B implique non A, j'ai eu un peu de mal à rédiger ça clairement....

Exemple 2

On considère une fonction f de R dans R et les deux propositions :
-A : f est une fonction paire et impaire
-B : f est la fonction nulle

Montrer que $\text{[math]}$

(Il s'agit d'après le plan du cours de la démontrer par équivalence...)

Solution :

* Soit la fonction f(x) = 0.
On constate que f(x)=f(-x)=-f(x)=0
Donc la fonction nulle est paire et impaire. On montre ainsi que : $\text{[math]}$

* Soit f une fonction paire et impaire. f vérifie :
$\text{[math]}$
en posant f(x)=y on obtient :
$\text{[math]}$
et donc, f est paire est impaire implique que : $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
y=0 est l'unique solution de cette équation.
En remplaçant, on en conclut que f est paire et impaire implique que f est la fonction nulle.
Et donc : $\text{[math]}$

On peut donc conclure que $\text{[math]}$

Exemple 3 :

Montrer que le réel $\text{[math]}$ n'est pas rationnel

(d'après le plan du cours, il s'agit de le démontrer par l'absurde...)

Solution :

Raisonnons donc pas l'absurde et suposons que $\text{[math]}$ soit rationnel. Ceci implique :
$\text{[math]}$
et donc en élevant au carré :
$\text{[math]}$
On obtiendra ainsi deux solutions : $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ .
La seconde solution est contradictoire avec la proposition vraie : "le carré d'un rationnel est positif".

Ainsi, on montre que $\text{[math]}$ est irrationnel...

La encore, je ne suis pas très sur de mon coup, car une des deux solutions est bonne...

Merci de toutes les remarques que vous pourrez faire et l'aide que vous pourrez m'apporter sur cette toute première partie du cours...

++++

**Médiat** · 16/07/2008, 08h29

Envoyé par GalaxieA440

Exemple 1
On remarque que si $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$

Je n'ai pas beaucoup de temps ce matin, mais pour ce point là, dire "on remarque" me paraît très insuffisant, par contre on peut dire (et s'il faut rentrer dans les détails et le démontrer, ce n'est pas long) :
$\text{[math]}$

En exhibant le $\text{[math]}$ qui contredit A on a bien montré qu'il en existait un.

Pour le 3 tu es complètement à l'ouest (cherche sur ce forum ...)

invitebe0cd90e · 16/07/2008, 09h47

Pour le 1°, je n'aurais pas forcement pensé a la relever, mais je crois que Médiat à raison. Ca n'est pas si évident que si x>0 alors il existe e tq 0<e<x. Ce n'est pas vrai dans Z, par exemple...

Pour le 2 ca me semble bon, mais je ne vois pas l'interet de passer par y. tu peux dire directement pour tout x, f(x)=-f(x) => f(x)=0. Enfin je pense.

Pour le 3 tu pars bien (ecrire sous la forme a/b, elever au carré et égaler à 2) mais ton argument pour conclure n'est absolument pas valable. L'astuce c'est de supposer que a/b est une fraction irreductible (cad que a et b snt premier entre eux), et d'aboutir a une contradiction sur ce point.

invite7ffe9b6a · 16/07/2008, 10h23

Envoyé par jobherzt

Pour le 3 tu pars bien (ecrire sous la forme a/b, elever au carré et égaler à 2) mais ton argument pour conclure n'est absolument pas valable. L'astuce c'est de supposer que a/b est une fraction irreductible (cad que a et b snt premier entre eux), et d'aboutir a une contradiction sur ce point.

Une deuxième méthode consiste à se servir de la décomposition en facteurs premier et de mettre en évidence une contradiction sur la 2-valuation.

En effet comme tu l'as fait, on suppose par l'absurde que $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ (avec p et q entier)

On sait alors qu'il existe $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , tels que

$\text{[math]}$ avec 2 qui ne divise pas p'
$\text{[math]}$ avec 2 qui ne divise pas q'.

Reste à élever au carrée (*) et utiliser l'unicité de la décomposition en facteurs premier d'un entier naturel pour aboutir à une contradition

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite787dfb08 · 16/07/2008, 12h31

Envoyé par Médiat

Je n'ai pas beaucoup de temps ce matin, mais pour ce point là, dire "on remarque" me paraît très insuffisant, par contre on peut dire (et s'il faut rentrer dans les détails et le démontrer, ce n'est pas long) :
$\text{[math]}$

En exhibant le $\text{[math]}$ qui contredit A on a bien montré qu'il en existait un.

Ok, je vois le truc

. C'est vrai que c'est beaucoup plus rigoureux qu'un simple "on remarque"...
Par contre l'inégalité ne peut (doit) elle pas être au sens stricte ???

Je me remet dans l'exemple 3...

Merci à tous pour vos réponses...

+++

invite986312212 · 16/07/2008, 12h42

l'égalité est bien stricte si x>0. au fait, si tu veux pinailler tu peux démontrer que si x>0 alors x/2>0

invite787dfb08 · 16/07/2008, 12h58

J'essaie juste après alors, si j'ai le temps

En attendant je propose ça pour l'irrationalité de $\text{[math]}$ , avec une méthode qui n'utilise pas de valuations p-adiques (plus simple

)...

Supposons que $\text{[math]}$ soit rationel

Alors $\text{[math]}$ , avec la a^b=1.
(la notation ^ est pour le pgcd

)
Alors, en élevant au carré : $\text{[math]}$
et : $\text{[math]}$
a² est donc pair, donc a est pair (ça c'est bon, je ne le démontre pas

)
d'où : $\text{[math]}$
Ainsi en remplaçant : $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Donc b² est pair, donc b est pair, alors : $\text{[math]}$

Donc en réinjectant : $\text{[math]}$ , et la on a bien une contradiction avec l'hypothèse de départ : a^b=1...

Ca devrait être suffisant pour conclure ???

Merci à tous

+++

invite787dfb08 · 16/07/2008, 13h04

Envoyé par ambrosio

l'égalité est bien stricte si x>0. au fait, si tu veux pinailler tu peux démontrer que si x>0 alors x/2>0

A : $\text{[math]}$
B : $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ (en multipliant chaque membre de l'inégalité par 2).
Ainsi on a montré que : $\text{[math]}$
D'où : $\text{[math]}$

C'est bon ?

Mais bon j'ai l'impression qu'on peut aussi le faire par raisonnement directe. x étant positif strictement, alors si on le divise par un nombre positif, la résulat sera positif... C'est pas suffisant ça ?

invitebe0cd90e · 16/07/2008, 13h36

Envoyé par GalaxieA440

J'essaie juste après alors, si j'ai le temps

En attendant je propose ça pour l'irrationalité de $\text{[math]}$ , avec une méthode qui n'utilise pas de valuations p-adiques (plus simple

)...

Supposons que $\text{[math]}$ soit rationel

Alors $\text{[math]}$ , avec la a^b=1.
(la notation ^ est pour le pgcd

)
Alors, en élevant au carré : $\text{[math]}$
et : $\text{[math]}$
a² est donc pair, donc a est pair (ça c'est bon, je ne le démontre pas

)
d'où : $\text{[math]}$
Ainsi en remplaçant : $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Donc b² est pair, donc b est pair, alors : $\text{[math]}$

Donc en réinjectant : $\text{[math]}$ , et la on a bien une contradiction avec l'hypothèse de départ : a^b=1...

Ca devrait être suffisant pour conclure ???

Merci à tous

+++

Ca a l'air d'etre ca. Pour le 1 ne pinaille pas trop non plus, ce que voulait dire Mediat c'est qu'il fallait expliciter le $\text{[math]}$ que tu prends. En gros le raisonnement pourrait etre :

SUpposons que x > 0. Alors 0<x/2<x, donc en prenant $\text{[math]}$ on aboutit a une contradcition.

invite787dfb08 · 16/07/2008, 13h56

Ok merci à tous

Concernant les ensembles, j'ai un peu de mal avec la négation de certaines propositions dépendants de quantifieurs...

Exercice 1-1

Quelle est la négation des propositions suivantes :
A) $\text{[math]}$
B) $\text{[math]}$
C) $\text{[math]}$
D) $\text{[math]}$
E) $\text{[math]}$

Alors je propose :
non A) $\text{[math]}$
non B) $\text{[math]}$

Euhh, problème avec le symbole "il n'éxiste aucun..."...

Ces deux négations sont elles bonnes, et j'ai quelques problèmes pour les suivantes, je posterai plus tard...

+++

invite986312212 · 16/07/2008, 14h06

Envoyé par GalaxieA440

x étant positif strictement, alors si on le divise par un nombre positif, la résulat sera positif... C'est pas suffisant ça ?

oui et non. J'aurais aimé que tu fasses allusion à la notion de corps ordonné, l'un des axiomes qui définissent les réels.
mais bon, on va dire que ça passe!

invitebe0cd90e · 16/07/2008, 14h07

Par rapport a mon message precedent, je precise que c'est [b]ce qu'il me semble[b] que Mediat voulait dire

Pour le latex, essaie \not\exists $\text{[math]}$

Par contre, attention a ne pas tomber dans le piege !! la negation de "tous les trucs verifie bidule" n'est pas "aucun truc ne verifie bidule", mais "il existe un truc qui ne verifie pas bidule" ! Sur un exemple : $\text{[math]}$ est premier. La negation de ca, cad le truc qui est vrai quand ca est faux, c'est $\text{[math]}$ non premier.

Par contre pour le B, la c'st bon ! on te dit qu'il en existe au moins un, la negation est donc : il n'en existe aucun !

invitebe0cd90e · 16/07/2008, 14h09

Envoyé par ambrosio

oui et non. J'aurais aimé que tu fasses allusion à la notion de corps ordonné, l'un des axiomes qui définissent les réels.
mais bon, on va dire que ça passe!

Ne poussons pas quand meme

On ne va pas revenir a la definition axiomatique des reels des qu'on dit que a < a+(b-a)/2 < b

invite986312212 · 16/07/2008, 14h12

pour la racine de 2, à partir de a^2=2b^2 avec (a,b)=1 (pgcd), tu en déduis que a divise 2b^2, or a ne divise pas b, donc a divise 2, donc a = 1 ou 2. a=1 donne 2=1/b^2 ce qui est absurde. a=2 implique b=1 car la racine de 2 est plus grande que 1 (car x->x^2 est croissante et 1^2=1), ce qui est encore absurde. Mais ta démonstration est meilleure car elle est plus facilement généralisable aux autres racines carrées.

**Médiat** · 16/07/2008, 14h24

Envoyé par jobherzt

Par rapport a mon message precedent, je precise que c'est ce qu'il me semble que Mediat voulait dire

Tout à fait à 100% (avec des inégalités strictes bien sur (quand on est pressé ...

))

**Médiat** · 16/07/2008, 14h29

Envoyé par jobherzt

Par contre pour le B, la c'st bon ! on te dit qu'il en existe au moins un, la negation est donc : il n'en existe aucun !

Ce qui revient à écrire que la négation de $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$

, je suppose que l'on attend plus, du genre :
$\text{[math]}$ (et la proposition duale bien sur)

**Médiat** · 16/07/2008, 14h33

Envoyé par Médiat

Ce qui revient à écrire que la négation de $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$

, je suppose que l'on attend plus, du genre :
$\text{[math]}$ (et la proposition duale bien sur)

Je précise que $\text{[math]}$ n'est pas un quantificateur "officiel".

invite787dfb08 · 16/07/2008, 14h49

Envoyé par ambrosio

pour la racine de 2, à partir de a^2=2b^2 avec (a,b)=1 (pgcd), tu en déduis que a divise 2b^2, or a ne divise pas b, donc a divise 2, donc a = 1 ou 2. a=1 donne 2=1/b^2 ce qui est absurde. a=2 implique b=1 car la racine de 2 est plus grande que 1 (car x->x^2 est croissante et 1^2=1), ce qui est encore absurde. Mais ta démonstration est meilleure car elle est plus facilement généralisable aux autres racines carrées.

Cette solution est très sympa aussi

Pour la notion de corps ordoné, désolé je ne connais pas

... Je m'y mettrai

Merci aussi pour les précisions quant aux négations... Je reposte très bientôt

+++

PS : Vraiment sympa de prendre du temps pour moi

. Je répète donc une nouvelle fois que ce forum est d'une très grande qualité... Merci à tous...

invite787dfb08 · 16/07/2008, 15h06

Envoyé par GalaxieA440

Exercice 1-1

Quelle est la négation des propositions suivantes :
A) $\text{[math]}$
B) $\text{[math]}$
C) $\text{[math]}$
D) $\text{[math]}$
E) $\text{[math]}$

Alors :

$\text{[math]}$

Par contre pour B, je suis toujours bloqué si je n'utilise pas $\text{[math]}$

invitebe0cd90e · 16/07/2008, 15h28

Envoyé par Médiat

Ce qui revient à écrire que la négation de $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$

Disons que c'etait juste une indication

mais c'est vrai que j'ai zappé que $\text{[math]}$ risquait de ne pas passer.

Galaxie> S'il n'existe aucun truc tel que Bidule est vrai, ca veut dire.... que pour tout truc, bidule n'est pas vrai... C'est encore une banalité mais ca devrait t'aider a l'ecrire

invite787dfb08 · 16/07/2008, 15h42

Envoyé par GalaxieA440

Exercice 1-1

Quelle est la négation des propositions suivantes :
A) $\text{[math]}$
B) $\text{[math]}$
C) $\text{[math]}$
D) $\text{[math]}$
E) $\text{[math]}$

Okay

. Donc je me relance pour les 4 premiers :

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Pour ces deux là, je suis moins surs, car il y a deux "propositions"

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Pour la E il y a une unique négation, ou alors plusieurs possibilités ???

+++

invitebe0cd90e · 16/07/2008, 16h02

Il me semble que tu commet la meme erreur

note que tu ne suis pas la meme logique sur le C et le D. Il me semble que c'est le C qui est faux :

tu pars de "pour tout x, il existe y tel que blabla" Si tu veux nier ca, il faut qu'il existe un x pour lequel aucun y ne fait marcher le truc. Donc ca va etre $\text{[math]}$

Et pour le E il n'y a qu'une seule possibilité.

**Médiat** · 16/07/2008, 16h09

Envoyé par GalaxieA440

$\text{[math]}$

En appliquant une première fois une des règles que je t'ai données :

$\text{[math]}$

puis une deuxième fois :

$\text{[math]}$

invite787dfb08 · 16/07/2008, 16h20

Envoyé par GalaxieA440

.

Exercice 1-1

Quelle est la négation des propositions suivantes :
A) $\text{[math]}$
B) $\text{[math]}$
C) $\text{[math]}$
D) $\text{[math]}$
E) $\text{[math]}$

okay, nouvel essai

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Pour la 5 :

$\text{[math]}$

(peut être faite un peu rapidement la dernière....)

+++

invite787dfb08 · 16/07/2008, 16h26

j'avais pas vu la réponse de Médiat...

En fait tu fais les négations "par blocs" on pourrait dire

, je crois que je vois mieu l'idée...

Je remarque que ça revient plus ou moins à remplacer les $\text{[math]}$ par des $\text{[math]}$ , puis à donner la négation de la propriété, mais c'est peut être complètement abusif comme remarque

+++

**Médiat** · 16/07/2008, 16h43

Envoyé par GalaxieA440

$\text{[math]}$

Pas tout à fait, je suppose que dans l'énoncé
$\text{[math]}$ veut dire $\text{[math]}$

La réponse intermédiaire est donc
$\text{[math]}$
Il te reste à appliquer la formule $\text{[math]}$ = ...
et ensuite $\text{[math]}$ = ...

invitebe0cd90e · 16/07/2008, 16h48

Envoyé par GalaxieA440

Je remarque que ça revient plus ou moins à remplacer les $\text{[math]}$ par des $\text{[math]}$ , puis à donner la négation de la propriété, mais c'est peut être complètement abusif comme remarque

+++

Non, c'est ca, mais gafe en le faisant "mecaniquement" on peut se planter

invite787dfb08 · 16/07/2008, 16h59

J'ai $\text{[math]}$ , d'apèrs leurs tables de vérité... Ca sous entend qu'il y a deux possibilités pour la négation de E, ou alors est-ce que tu pensais à une autre formule ???

Merci en tout cas à tous les deux, je note les conseils et remarques

**Médiat** · 16/07/2008, 17h02

Envoyé par GalaxieA440

J'ai $\text{[math]}$ , d'apèrs leurs tables de vérité... Ca sous entend qu'il y a deux possibilités pour la négation de E, ou alors est-ce que tu pensais à une autre formule ???

Oui, s'il y a deux conditions qui doivent être conjointement vérifiées pour que E soit vrai, on peut faire en sorte que E soit faux en ayant l'une ou l'autre des deux conditions qui ne soient pas vérifiée (ce qui fait 3 solutions

)

invite787dfb08 · 16/07/2008, 17h08

Okay, c'était juste contradictoire à un avis précédent

...

Alors pour en finir avec ces négations :

$\text{[math]}$
ou :
$\text{[math]}$

Tu parles d'une troisième solution ????

Raisonnement, ensembles

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