Raisonnement, ensembles

[inviteaf1870ed]

et si x>r et s>r ?
-----

[invite787dfb08]

Tu es sur ??

Parce que la table de vérité de et celle de sont différentes...

[inviteaf1870ed]

oui si on n'a pas "A vrai et B vrai" on a A faux, ou B faux, ou les deux faux....

[invite9c9b9968]

Hello Galaxy,

N'oublie pas que signifie

Maintenant applique ta table de vérité

Et comme le dit Mediat, Non( A ET B) étant équivalent à [*Non(A) OU Non(B) ], cette dernière proposition est vérifiée par :

_ Non(A)

_ Non(B)

_ Non(A) et Non(B) en même temps

(le OU logique est inclusif)

[invite787dfb08]

D'accord...

Je pensais qu'il fallait comparer les tables de vérité des connecteurs et ....
En fait rien à voir

Merci +++

EDIT : Merci Gwyddon, je viens de trouver ta réponse

[invite787dfb08]

Re Plop

Il reste un certain nombre de choses sur lesquelles je bloque, concernant les ensembles... C'est assez nouveau pour moi, donc je bute sur des exos...

Exercice1-2

On considère trois ensemble A, B, C. Montrer que :



Pour cet exo, je cherche un peu dans tous les sens en utilisant les définitions, mais j'avoue que je ne vois pas du tout comment arriver au résultat... Une piste ????

Exercice 1-3
On considère trois ensembles A, B, C. Comparer les ensembles :

1) et
2) et

Comparer, c'est à dire qu'il faut vérifier si les ensembles sont égaux, ou si l'un est inclus dans l'autre ????


Enfin quelques questions rapides :

Quelle est la différence entre et ??
Concernant les parties d'ensembles : est-ce que les parties et sont égales ?

Merci de ces éclaircissement qui j'espère, me permettront de terminer la partie sur les ensembles...

+++

[Médiat]

Quelle est la différence entre et ??

: l'ensemble vide ne contient aucun élément.
est un singleton qui ne contient que l'ensemble vide.

Concernant les parties d'ensembles : est-ce que les parties et sont égales ?

Oui, un ensemble ne contient un élément qu'une seule fois.

Pour les deux questions précédentes, en voyant la relation d'appartenance comme un graphe orienté :
Aucune flèche n'arrive sur
Une flèche issue de arrive sur

Le graphe est un graphe sans arrête multiple.



Pour le premier exercice, suppose qu'ilm existe un élément appartenant à B mais pas à C
Pour le deuxième, oui, il faut montrer s'il y a des inclusions (voire des égalités)

[invitebe0cd90e]

Exercice1-2

On considère trois ensemble A, B, C. Montrer que :



Pour cet exo, je cherche un peu dans tous les sens en utilisant les définitions, mais j'avoue que je ne vois pas du tout comment arriver au résultat... Une piste ????

Exercice 1-3
On considère trois ensembles A, B, C. Comparer les ensembles :

1) et
2) et

Comparer, c'est à dire qu'il faut vérifier si les ensembles sont égaux, ou si l'un est inclus dans l'autre ????

Je pense. L'astuce pour ces exos, c'est de prendre un x qui appartient a l'un des ensemble qui t'interresse, et d'ecrire ce que ca veut dire : les intersection engendre des "ET" et les union des "OU", par exemple : c'est pareil que . Ensuite tu essaie de prouver que x appartient a l'autre ensemble, cad satisfait aux conditions.. pour montrer l'egalité, tu montre que l'un est inclus dans l'autre, puis que l'autre est inclus dans l'un.

Par exemple, pour le 1-2 tu prens x dans B, et tu utilises les conditiosn avec des Ou et des ET pour exprimer des choses sur x, et tu prouves que x appartient a C.

Quelle est la différence entre et ??
Concernant les parties d'ensembles : est-ce que les parties et sont égales ?

Le premier est l'ensemble vide. Le 2e est un ensemble qui contient un element, et cet unique element est l'ensemble vide.

Oui, un ensemble est toujours sans répétitions par définition.

[invite787dfb08]

Plop

Pour l'exo 1-2 j'arrive à des trucs, mais c'est encore trop "intuitif", je réessairai un peu plus tard

Exercice 1-3
On considère trois ensembles A, B, C. Comparer les ensembles :

1) et
2) et

Pour celui la :

1) et
Donc ou
Donc

Donc les deux ensembles sont égaux dans ce premier cas...

Le raisonnement est-il bon ou alors j'abuse à la ligne 2 ??

J'essaie de terminer ça pour dans l'aprem.

Merci de votre aide...

+++

[invite9c9b9968]

Donc les deux ensembles sont égaux dans ce premier cas...

Tu ne l'as pas montré... Tu as juste montré une inclusion pour l'instant.

Avant de faire ces exercices, es-tu sûr d'avoir bien compris ce que signifie l'inclusion et l'égalité d'ensembles ?

[invite787dfb08]

Oui il me semble bien

signifie que tous les éléments de A sont dans B

et .

Mais oui maintenant que tu le dis, c'est vrai que comme il n'y a qu'une implication, je ne montre qu'une inclusion, et pas une égalité...

Bon j'essaie de m'y remettre un peu plus tard...

Merci

+++

[invitebe0cd90e]

Plop

Pour l'exo 1-2 j'arrive à des trucs, mais c'est encore trop "intuitif", je réessairai un peu plus tard



Pour celui la :

1) et
Donc ou
Donc

Donc les deux ensembles sont égaux dans ce premier cas...

Le raisonnement est-il bon ou alors j'abuse à la ligne 2 ??

J'essaie de terminer ça pour dans l'aprem.

Merci de votre aide...

+++

Pour la ligne 2 je justifierai un peu plus, en fait tu appliques les regles de logique !!

[invite787dfb08]

Pour montrer l'implication dans l'autre sens, je propose :

et ou et



Comme ça on a montré la double implication et donc l'égalité...

Par contre c'est vrai que pour la démonstration dans les deux sens, un passage manque de rigueur, ou n'est pas assez approfondis...

Je vais essayer d'éclaircir ça avec les règles de logiques....


+++

[inviteaf1870ed]

Pour le 1-2 : soit x dans B, alors x est dans A U B, donc dans A U C. Alors deux possibilités (non exclusives) : soit x est dans C, et c'est fini; ou alors x est dans A, donc dans A inter B...je te laisse finir

[invite787dfb08]

Exercice1-2

On considère trois ensemble A, B, C. Montrer que :

Soit ,
car
Si , alors
Si , alors sachant , on en déduit , et donc car
Donc,
Conclusion :

C'est plus clair pour moi, merci ericcc

++++

[invite1237a629]

Soit ,
car
Si , alors
Si , alors sachant , on en déduit , et donc car
Donc,
Conclusion :

C'est plus clair pour moi, merci ericcc

++++

Beuh

[invite787dfb08]

Autant pour moi, fallait lire

[invite1237a629]

C'est pas bon ?

Oh ! Je parlais uniquement de la partie rouge ! (le reste est parfait )

Ce ne serait pas plutôt au lieu de ?

Autant pour moi, fallait lire

[invite787dfb08]

C'est ce qu'on appelle un éditage rapide

+++

[invite787dfb08]

Plop
1) et
Donc ou
Donc

Alors pour celui la, j'ai essayé mais je ne trouve pas comment expliciter rigoureusement le passage à la ligne 2 au moyen de la logique... Une aide ?

Ca devrait me permettre de terminer avec les ensembles, avec toutefois, juste un dernier petit doute :

Exemple 4 :

Soit l'ensemble E =

est-ce que j'utilise les symboles a bon escient ??? dans les affirmations :






Ensuite, concernant les parties d'ensemble :

Exercice 1-4 :

Soit :



Est-ce que c'est juste ?

Ensuite je commence la partie 1) 3. concernant les applications...

Exercice 1-5

Les applications de R dans R suivantes sont elles injectives, surjectives ?




1)
Injectivité :
Il suffit de remarquer que f(2)=f(-2)=4. Ainsi :

Donc f n'est pas injective

Surjectivité :
Il suffit de remarquer que f(x) = -4. Ainsi :

Donc f n'est pas surjective...

2)
Injectivité :
Soient
On suppose
Alors donc
et donc
Ainsi :
Surjectivité :
Soit
On pose
On a bien y = g(x)
Donc
Donc f est surjective, elle est aussi bijective, par conséquent...

N'étant pas très sur de moi avec l'utilisation des racines cubiques, je propose la rédaction suivante.
Soit g(x)=x^3, on remarque que g'(x)=3x²>0, donc g est dérivable, croissante et monotone sur R, ainsi, elle définit une bijection de R dans R, et par conséquent, elle est surjective et injective... (faut faire les limites aussi, mais bon )
Mais c'est moins rigoureux à mon avis et ce n'est pas ce qui est attendu dans l'exercice...

Pour la 3), même principe que la 1, on peut exhiber deux contrexemples suffisants pour montrer que la fonction étant périodique, elle n'est pas injective, et sachant -1<sin(x)<1, elle n'est pas non plus surjective...

Merci de vos remarques concernant ce post...

+++

[invite787dfb08]

Plop

Quelqu'un pourrait-il me donner un exemple de rédaction pour montrer qu'une application est surjective, parce que j'ai un peu de mal avec cette question dans les exos .

Merci, ça me décloquera

+++

[inviteaeeb6d8b]

Salut,


pour montrer que est une application surjective, on prend un élément de et on montre qu'il est atteint.

Exemple simple :

avec

Soit
Posons
Alors
Donc cet élément est bien atteint.

Comme on a posé aucune condition sur , ceci est vrai pour tout , donc est surjective.

Voila voila

[invite787dfb08]

Okay...

J'avais un peu de mal à voir comment prendre x, mais en fait maintenant c'est bon...

Merci pour l'exemple.

+++

[inviteee57e7e1]

Ok merci à tous

Concernant les ensembles, j'ai un peu de mal avec la négation de certaines propositions dépendants de quantifieurs...

Exercice 1-1

Quelle est la négation des propositions suivantes :
A)
B)
C)
D)
E)

Alors je propose :
non A)
non B)

Euhh, problème avec le symbole "il n'éxiste aucun..."...

Ces deux négations sont elles bonnes, et j'ai quelques problèmes pour les suivantes, je posterai plus tard...

+++

Bonjour!

Petit coup de pouce pour les négations de propositions avec quantificateurs, et plus si affinités:
en règle générale, il suffit de remplacer:

par
par (quand non précédé de ou !)
par
par
par
par
et par ou

Avec à chaque fois: et vice et versa ^^

Par exemple, la proposition E) devient, sans réfléchir:

ou

(j'ai supposé que la virgule était un et).

Aussi, indication:
on peut intervertir les entre eux et les entre eux, mais pas les deux ensemble sous peine d'une modification de la signification logique de la proposition.

Et pour l'exo 14, c'est faux;
en effet, card(P(E)) = 2^card(E),
donc card(P(P(E))) = 2^(2^card(E));

donc tu devrais avoir: card(P(P(E))) = 16 !

si ça peut t'aider, renomme les éléments de P(E) en w, x, y, z par exemple, et applique la même méthode que pour E.

[inviteee57e7e1]

Exemple 4 :

(...)

est-ce que j'utilise les symboles a bon escient ???

Malheureusement non, cherche encore!

La réponse:

 Cliquez pour afficher

[invite787dfb08]

Ploop

Merci à tous les deux pour l'exercice 4 , et pour les précisions sur la surjectivité et sur les négations...

Exercice 1-4 :

Soit :

P(P(E) =({},{a},{b},{a,b},{a},{a,b},{a,a ,b},{b},{b,a},{b,a,b},{a,b},{a ,b,a},{a,b,b},{a, },{b,},{c,})

Il y en a bien 16, mais il y en a qui se répètent. L'ordre a une importance aussi ?

Concernant l'exercice 5, il vous paraît bon ?

Merci à tous

++++

[inviteee57e7e1]

Tu y es presque, mais tu devrais faire comme je t'ai conseillé, tu verrais la solution assez vite;

Si F = {w, x, y, z},
alors P(F) = ?

Pour l'exo 5 je regarde, je re-poste juste après

[inviteee57e7e1]

Exo 5!

1) x |--> x²

bon, mais il y a une phrase incomplète;

Il suffit de remarquer que f(x) = -4

n'a pas de sens en soit, à terminer...

2) x |--> x^3

1er raisonnement: tu avais raison de douter, la racine cubique n'est définie que sur IR+ (par convention); donc le raisonnement est faux puique x et y sont dans IR.
Pour l'injectivité, factorise f(x) - f(y); puis résoud une équation du 2nd degré en x/y (en faisant une étude de cas)...
Pour la surjectivité, il faut distinguer 2 cas: y positif, y négatif, puis: racine cubique...
A toi de jouer !

2ème raisonnement: il est juste, si ce n'est qu'il faut préciser strictement monotone pour que le théorème s'applique.

Exemple: x |--> |x+1| - |x-1| est-elle bijective? (trace le graphe !)

3)x |--> sin(x)

C'est ça; mais attention, les inégalités sont larges: <= (je pense que tu le savais...)

[invite787dfb08]

Tu y es presque, mais tu devrais faire comme je t'ai conseillé, tu verrais la solution assez vite;

Si F = {w, x, y, z},
alors P(F) = ?

Pour l'exo 5 je regarde, je re-poste juste après

P(F) = {{0},{w},{x},{y},{z},{w,x},{w, y},{w,z},{x,y},{x,z},{w,x,y},{ w,x,z},{x,y,z},{w,y,z},{w,x,y, z},{y,z}}

donc je remplacerai dans l'exo...

Mais alors il peut y avoir deux fois les mêmes paires, par exempe {a,b},{a,b} ???

[invite787dfb08]

Exo 5!

1) x |--> x²

bon, mais il y a une phrase incomplète;
n'a pas de sens en soit, à terminer...

2) x |--> x^3

1er raisonnement: tu avais raison de douter, la racine cubique n'est définie que sur IR+ (par convention); donc le raisonnement est faux puique x et y sont dans IR.
Pour l'injectivité, factorise f(x) - f(y); puis résoud une équation du 2nd degré en x/y (en faisant une étude de cas)...
Pour la surjectivité, il faut distinguer 2 cas: y positif, y négatif, puis: racine cubique...
A toi de jouer !

2ème raisonnement: il est juste, si ce n'est qu'il faut préciser strictement monotone pour que le théorème s'applique.

Exemple: x |--> |x+1| - |x-1| est-elle bijective? (trace le graphe !)

3)x |--> sin(x)

C'est ça; mais attention, les inégalités sont larges: <= (je pense que tu le savais...)

1), f(x) = -4 ssi x²=-4, aucune solution dans R

2)

donc
donc x-y=0, d'où x=y
ou x²+xy+y²=0
(j'arrive pas à résoudre, insoluble dans R² ???), si c'est le cas la première condition est nécessaire et suffisante...

donc f est bien injective... Mais on peut sinon le montrer par l'absurdre (plus simple), ou simplement montrer qu'elle est bijective...

Pour la surjectivité je vois le truc


Merci beaucoup pour toutes les remarques et cette aide qui me sera très utile

+++