Raisonnement, ensembles

[inviteee57e7e1]

Quel est ton argument pour montrer qu'elle est injective par l'absurde?

x² + xy + y² = 0: il faut résoudre en u = x/y, donc diviser par... (en supposant... pour que ce soit possible !)

Je vais dej et je reviens t expliquer pour les ensembles
-----

[invite787dfb08]

Quel est ton argument pour montrer qu'elle est injective par l'absurde?

x² + xy + y² = 0: il faut résoudre en u = x/y, donc diviser par... (en supposant... pour que ce soit possible !)

Je vais dej et je reviens t expliquer pour les ensembles

x <> y => x^3 <> y^3
Mais c'est vrai que c'est intuitif, je ne démontre rien en fait...

J'essairai la résolution dans l'aprem

Merci pour ton aide

+++

[inviteaeeb6d8b]

Salut,

un petit coup de main

ta conclusion sur l'injectivité est... rapide, sachant qu'il y a un cas que tu n'as pas étudié

tu arrives à :
x=y ou

et tu peux écrire :


ce qui devrais t'aider à terminer...

Tiens, je te propose un exo sur la surjectivité un peu différent de ceux que j'ai pu voir :
Soit une application continue vérifiant :
quand
quand

Montre que est surjective.

Et pour en ajouter un peu :
Donne un exemple d'une telle application qui soit (strictement) croissante, et un exemple d'une telle application qui ne soit pas croissante.

Si est strictement croissante montre qu'elle est de plus injective. Elle est donc bijective.



Romain

[inviteaeeb6d8b]

EDIT : tu peux également poser u = x/y en supposant... comme l'a suggéré loweekee.


(mais je n'ai pas eu le temps d'éditer mon précédent message...)




-------

Note que ce que tu appelles raisonnement par l'absurde pour montrer l'injectivité est en fait un raisonnement par contraposée.

f(x)=f(y) => x=y
est équivalent à
=>

Romain

[inviteaeeb6d8b]

2) x |--> x^3

1er raisonnement: tu avais raison de douter, la racine cubique n'est définie que sur IR+ (par convention); donc le raisonnement est faux puique x et y sont dans IR.

Je ne vois pas pourquoi...
la fonction étant bijective de dans lui même, la "racine cubique" est définie pour tout réel...

par définition, la racine cubique d'un réel x est l'unique antécédent de x par cette fonction.

[inviteee57e7e1]

@Romain-des-Bois:
Justement, il me semble que la fonction "racine cubique" est distincte de la fonction "réciproque de x |--> x^3"; mais tout d'un coup j'ai un doute...

Pour les ensembles, le truc c'est qu'il te manque un niveau de { };
n'oublie pas que:
w = {0} et non w = 0
x = {a} et non x = a
y = {b} et non y = b
z = {a,b} et non z = a,b (qui d'ailleurs n'a pas de sens...)

Si tu ne vois toujours pas, fais-moi signe par mp !

[inviteaeeb6d8b]

@loweekee : une affaire de convention Mais dont je ne vois pas l'intérêt ici

@Galaxie : si tu veux t'amuser (à la fois) sur les ensembles et les surjections, tu peux prouver le théorème de Cantor :

Soit un ensemble non vide. Alors, il n'existe pas de surjection de sur

Pour le prouver, une indication subtile :

 Cliquez pour afficher

Soit . Posons
En raisonnant par l'absurde, et en utilisant cet ensemble A astucieux, tu peux conclure...

Bon, ça, c'est peut-être un peu difficile...

[Médiat]

si tu veux t'amuser (à la fois) sur les ensembles et les surjections, tu peux prouver le théorème de Cantor

Il y a aussi le théorème de Cantor-Bernstein

[invite787dfb08]

Salut,
Tiens, je te propose un exo sur la surjectivité un peu différent de ceux que j'ai pu voir :
Soit une application continue vérifiant :
quand
quand

Montre que est surjective.

Et pour en ajouter un peu :
Donne un exemple d'une telle application qui soit (strictement) croissante, et un exemple d'une telle application qui ne soit pas croissante.

Si est strictement croissante montre qu'elle est de plus injective. Elle est donc bijective, et donc bijective


Romain

Montrer que f est surjective :

f étant continue et à valeures dans R, on peut utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour dire que pour tout réel y il éxiste au moins un réel x tel que f(x)=y, soit :

Donc f est surjective...

Exemple : strictement croissant : f(x) = x
croissant : f(x) = x^3
non croissant f(x) = un brave polynome de degré trois bien choisi, genre x^3+3x²+1.

Bon ???

Ensute, si f est en plus strictement croissante, montrer son injectivité...

Je préciserai que c'est une bijection de R dans R (vu les limites), mais bon

Alors :
f est une fonction de R dans R.
Montrons que pour tout y de R, l'équation f(x)=y admet une unique solution dans R.
Supposons qu'il éxsite une deuxième solution x', telle que f(x')=y, x' dans R, avec x<x'.
f étant strictement croissante, on a f(x)<f(x'), ce qui est absurde car f(x)=f(x')=y. Donc il n'éxiste pas de deuxième solutions. (on pourrait montrer de manière analogue qu'il n'éxsite pas non plus de deuxième solution quand x'<x)...
Ainsi :
Donc f est bien injective...

[inviteaf1870ed]

Hmmm....je ne crois pas que le théorème des valeurs intermédiaires s'applique aussi directement ? Regarde bien ses conditions d'application

[invite787dfb08]

TVI :

Soit une fonction de R dans R continue sur I
Alors pour tous réels a et b de I, pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c) = k.

Dans notre cas I = R, donc pour tout réel k de R, il éxiste au moins un dans R tel que f(c)=k.

On montrer bien la surjectivité la non ?

[Médiat]

TVI :

Soit une fonction de R dans R continue sur I
Alors pour tous réels a et b de I, pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c) = k.

Dans notre cas I = R, donc pour tout réel k de R, il éxiste au moins un dans R tel que f(c)=k.

On montrer bien la surjectivité la non ?

Est-ce que tu écrirais f() ou f(), par hasard ?.
Ce que suggère ericcc (je crois), c'est que tu écrives correctement la définition de et de , ce qui te permettra de trouver un a et un b qui vont bien pour appliquer le TVI.

[inviteaf1870ed]

Oui cher Mediat, c'était bien ce que je sous entendais...Pour Galaxie : IR n'est pas un intervalle !

[invite787dfb08]

IR n'est pas un intervalle !

Ouais c'est vrai....

[invite787dfb08]

Ce que suggère ericcc (je crois), c'est que tu écrives correctement la définition de et de

Plop

Je ne vois pas vraiment comment écrire ça autrement, même intuitivement...

[Médiat]

Je ne vois pas vraiment comment écrire ça autrement, même intuitivement...

C'est la définition même de la limite dans ce cas (adaptation de la définition générale au cas particulier ) :

[invite787dfb08]

C'est la définition même de la limite dans ce cas (adaptation de la définition générale au cas particulier ) :

A je ne savais pas du tout.... Jamais vu

Par contre au niveau des quantifieurs on devrait pas préciser les ensembles ?

Mais comment peut on appliquer le TVI avec cette définition ? Parce qu'on montre qu'il existe un y tel que... ???

Merci pour l'aide

+++

[Médiat]

Par contre au niveau des quantifieurs on devrait pas préciser les ensembles ?

Ce serait mieux, mais il n'y a aucune ambiguité ici, toutes les variables sont dans IR.

[inviteaeeb6d8b]

Salut,

un premier message pour te débloquer...

Au passage, il me semble que la définition de la limite est vue en TS (la soeur de ma copine l'a vue en tout cas).

 Cliquez pour afficher

Tu prends un réel y et tu montres qu'il a un antécédent.
Tu sais que

Premier point :
Au vu de la limite en , par définition, il existe tel que pour tout , implique .
Tu disposes donc d'un tel que

Second point :
Au vu de la limite en , par définition, il existe tel que pour tout , implique .
Tu disposes donc d'un tel que

Ensuite, il s'agit simplement d'appliquer le TVI ! (et ce n'est que maintenant qu'on le peut).

Note : on peut très bien se passer des y+1 et y-1

Bon courage

Allez, d'autres exos arrivent.

[inviteaeeb6d8b]

Je partais pas dans cet objectif... mais j'ai finalement écrit plein d'exos...

[Polynôme et surjection]

Dans le même ordre d'idée que précédemment...

Soit une application polynomiale qu'on écrit : avec et .

En utilisant l'exercice que j'avais proposé (et plus éventuellement), prouver que si est impair, alors est surjective.

Réciproquement, si est surjective, que peut-on dire (si c'est possible) de la parité de ?
- - -
Au passage, je sais bien que surjectif et injectif, ça donne bijectif
- - -
Indication, parce que c'est peut-être plus dur...

 Cliquez pour afficher

L'idée est de prouver que la réciproque est vraie... id est on veut montrer que surjective implique impair.

On peut pas tout dévoiler d'un coup... sinon, il n'y a plus de plaisir... Si tu bloques toujours :

 Cliquez pour afficher

Il s'agit de prouver la contraposée, id est on prouve que si n'est pas impair (c'est-à-dire qu'il est...) alors n'est pas surjective.

Et la suite :

 Cliquez pour afficher

Si est pair, on suppose que est positif (tu pourras faire le cas où il est négatif ensuite... c'est tout pareil).
Alors tend vers quand tend vers . Or un polynôme est défini et continu (et dérivable...) sur tout donc il admet un minimum avec

Maintenant, il est très facile de terminer :
Soit tel que . Comme alors il n'existe pas tel que et c'est fini !

[Tribus]
Pour parler d'ensembles, encore :
une tribu est une classe de parties de E (c'est-à-dire un sous-ensemble de l'ensemble des parties) qui vérifie trois axiomes. L'idée, c'est pas d'étudier les tribus (ce serait prématuré), mais ça peut être pas mal pour t'habituer un peu plus aux ensembles, et les relations d'appartenance, inclusion...

Axiomes des tribus
est une tribu sur E si elle vérifie les 3 axiomes suivants :

Le premier :
quel est le bon ?
(1)
ou (2)

Le deuxième :
quel est le bon ?
(1) Si alors
ou (2) Si alors

Le troisième :
quel est le bon ?
(1) Si pour tout entier n, , alors

ou (2) Si pour tout entier n, , alors

ou (3) Si pour tout entier n, , alors

Les réponses

 Cliquez pour afficher

Le premier : (2)
Le second : (2)
Le troisième : (3)

Si tu as du mal à voir ce qu'est une tribu, tu peux vérifier que :

(i) est une tribu (c'est la tribu grossière)

(ii) est une tribu (c'est la tribu triviale)

(iii) est une tribu pour tout
(c'est la tribu engendrée par )

- - -

[Groupes]
Et puis, si tu veux regarder un peu ce que sont les groupes :

Soit un ensemble muni d'une loi , c'est-à-dire d'une opération sur .
On dit que la loi est interne si pour tout couple , est encore dans .

On suppose maintenant que la loi est interne.
On dit que la loi est associative si pour tout triplet , on a :


On dit que la loi dispose d'un élement neutre s'il existe un élément dans tel que pour tout élément , on a :


On dit qu'un élément admet un symétrique par dans s'il existe un élément (qui dépend de bien sûr) tel que :


Si la loi est interne, associative, qu'elle dispose d'un élément neutre, et que tout élément de admet un symétrique, alors on dit que :
est un groupe
On peut dire aussi que est un groupe pour la loi .

Maintenant, tu peux te poser les questions suivantes :
est-il un groupe ? Que manque-t-il ?

est-il un groupe ?

est-il un groupe ?

est-il un groupe ?

est-il un groupe ? Que faut-il modifier ?

Quand la réponse est oui, précise qui est l'élément neutre, et qui le symétrique d'un élément quelconque.

[Et pour la route]

Peut-être ne le connais-tu pas encore, en tous cas, c'est un grand classique en Sup, qu'il faut absolument savoir faire... Cherche le bien (sans chercher la solution sur le net, car tu la trouveras facilement, et ça ne te servira pas à grand chose...) !

«Simplifie» l'expression :

(il y a 26 facteurs comme tu peux t'en douter...)

- - -
@ Médiat : j'ai «toujours» appelé ce théorème le théorème de Cantor. Je ne savais pas qu'il s'agissait en fait du th. de Cantor-Berstein... Merci pour la rectification !

[Toujours signifie ici depuis trois ans...]
- - -


Romain

[inviteaeeb6d8b]

EDIT (parce que je n'ai pas eu le temps de tout éditer) : j'avais appelé ma loi "étoile", mais \bigstar ne marche pas... (et \star non plus)

[invite787dfb08]

Ouuuuu !

Ca c'est super sympa

Je fais ça prochainement

Merci beaucoup

+++

[invitec1242683]

sympa la petite question pour la route !

 Cliquez pour afficher

a un moment on trouve le facteur (a-x)(b-x)...(w-x)(X-X)(y-x)(z-x)=0 hehe j'ai mis 6 ans a developper puis je me suis rendu compte de ca grrr

[inviteaeeb6d8b]

sympa la petite question pour la route !

 Cliquez pour afficher

a un moment on trouve le facteur (a-x)(b-x)...(w-x)(X-X)(y-x)(z-x)=0 hehe j'ai mis 6 ans a developper puis je me suis rendu compte de ca grrr

Bravo

hé hé hé

[Médiat]

@ Médiat : j'ai «toujours» appelé ce théorème le théorème de Cantor. Je ne savais pas qu'il s'agissait en fait du th. de Cantor-Berstein...

Pour qu'il n'y ait pas d'ambiguité :
Théorème de Cantor : Il n'existe pas de surjection de A dans P(A) (ensemble des parties de A).
Théorème de Cantor (Schroder) Bernstein : si il existe une injection de A dans B et une injection de B dans A, alors il existe une bijection de A dans B.

Le deuxième est plus compliqué à démontrer (sans Axiome du choix).

[invite986312212]

on avait fait la demonstration du théorème de Cantor-Bernstein en math sup, c'est assez ardu dans mon souvenir mais donc pas trop "avancé". Mais est-ce qu'il n'y a pas aussi un théorème qui dit qu'il existe nécessairement, soit une injection de A dans B, soit une injection de B dans A ? ou bien c'est une partie du théorème précédent ?

[Médiat]

Mais est-ce qu'il n'y a pas aussi un théorème qui dit qu'il existe nécessairement, soit une injection de A dans B, soit une injection de B dans A ? ou bien c'est une partie du théorème précédent ?

Avec axiome du choix c'est très facile à démontrer (il existe des bons ordres de même cardinal que A et B).

[invite787dfb08]

[Polynôme et surjection]

Dans le même ordre d'idée que précédemment...

Soit une application polynomiale qu'on écrit : avec et .

En utilisant l'exercice que j'avais proposé (et plus éventuellement), prouver que si est impair, alors est surjective.

Réciproquement, si est surjective, que peut-on dire (si c'est possible) de la parité de ?
- - -
Au passage, je sais bien que surjectif et injectif, ça donne bijectif
- - -
Indication, parce que c'est peut-être plus dur...

 Cliquez pour afficher

L'idée est de prouver que la réciproque est vraie... id est on veut montrer que surjective implique impair.

On peut pas tout dévoiler d'un coup... sinon, il n'y a plus de plaisir... Si tu bloques toujours :

 Cliquez pour afficher

Il s'agit de prouver la contraposée, id est on prouve que si n'est pas impair (c'est-à-dire qu'il est...) alors n'est pas surjective.

Et la suite :

 Cliquez pour afficher

Si est pair, on suppose que est positif (tu pourras faire le cas où il est négatif ensuite... c'est tout pareil).
Alors tend vers quand tend vers . Or un polynôme est défini et continu (et dérivable...) sur tout donc il admet un minimum avec

Maintenant, il est très facile de terminer :
Soit tel que . Comme alors il n'existe pas tel que et c'est fini !

Très bel exo, par contre :

SI on note : A = "n impair" et B = "P surjectif", j'arrive à montrer que :

non A => non B et par contrapostion que B=> A
Mais je n'arrive pas à montrer que A => B comme il faudrait dans la question 1.

Donc j'arrive bien à montrer la piste que tu donnes en spoiler 1, mais ça ne me permet pas de conclure sur la réciproque ?

Merci en tout cas pour l'exo, j'attaquerai la suite bientôt

+++

[invite787dfb08]

On dit qu'un élément admet un symétrique par dans s'il existe un élément (qui dépend de bien sûr) tel que :

Euhh, la je beug ! e c'est quoi ? C'est pas l'exponentielle ?

[Et pour la route]

Peut-être ne le connais-tu pas encore, en tous cas, c'est un grand classique en Sup, qu'il faut absolument savoir faire... Cherche le bien (sans chercher la solution sur le net, car tu la trouveras facilement, et ça ne te servira pas à grand chose...) !

«Simplifie» l'expression :

(il y a 26 facteurs comme tu peux t'en douter...)

On me l'avais faite en seconde ou en troisième
même avec 2 feuilles en format paysage j'avais pas réussi à tout développer, j'avais abandonné...



+++

[invite986312212]

Avec axiome du choix c'est très facile à démontrer (il existe des bons ordres de même cardinal que A et B).

en effet j'ai regardé hier le bouquin des époux Douady, la démonstration (très jolie) tient en six lignes...