Pourquoi l'équivalence suivante est-elle vraie ?

[citron_21]

bonjour,
j'aurais voulu savoir pourquoi cette équivalence est vraie :
f injective <=> Kerf=e_E (avec e_E l'élément neutre du groupe (E,*)

J'aurais voulu la démontrer, un peu de la même façon que f surjective <=> Imf=F peut s'expliquer par le fait que si on choisit un élément de F qui n'appartient pas à Imf, cela veut dire que si son antécédent existe, alors l'image de cet antécédent appartiendra à Imf. Or l'élément choisi dans F n'appartient pas à Imf. Donc cet élément de F n'existe pas. D'où chaque élément de Imf à au moins un antécédent dans E. Donc f est surjective.
A l'inverse, si f est surjective, cela signifie que quelque soit l'élément choisi dans F, alors il aura au moins un antécédent dans E. C'est à dire que F tout entier constitue l'ensemble des images de ces antécédents. Donc F=Imf

pour l'injectivité de f, j'ai du mal à le démontrer. Un peu d'aide serait vraiment la bienvenue
merci d'avance
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[Thorin]

Je suppose que f est linéaire, même si ce n'est pas précisé dans ton post


Soit f injective, alors, il est évident que Ker(f)=0 (sinon, on aurait 2 élément qui ont la même image...beeeerk )

Soit f tq Ker(f)=0
Alors, soit x et y dans l'ensemble de départ de f tq f(x)=f(y)
Alors, f(x-y)=0 (linéarité), donc, x-y appartient à ker(f), et donc, par hypothèse, x-y=0
d'où x=y, et donc l'injectivité de f.

NB : 0=neutre...

[inviteb250fe1a]

Attention il s'agit d'un morphisme de groupes, donc pas de linéarité ici.

Montrons que f injective implique :
f étant un morphisme de groupes, on a (à démontrer si nécessaire), que peut-on conclure de l'injectivité de f ?


Montrons que implique f injective :
Soient x et y deux éléments de E, alors implique . Il te reste à utiliser le fait que f est un morphisme de groupes et que le noyau est réduit à .


Enfin l'équivalence f surjective équivaut à relève simplement de la définition de la surjectivité.

[Thorin]

Attention il s'agit d'un morphisme de groupes, donc pas de linéarité ici.

Sans doute, mais ça, il l'a pas précisé

[A voir en vidéo sur Futura]

[citron_21]

oui désolé j'ai oublié de le préciser. C'était bien dans le cas d'un morphisme de groupe. Mais une question, pourquoi cela empêche la linéarité ?
Il faut que ce soit dans un espace vectoriel c'est ca ?

[Thorin]

ca empêche rien, c'est juste que c'est pas la même chose.


Enfin remarque que les démonstrations sont dans les 2 cas quasiment identiques, puisqu'on peut voir la linéarité presque comme un morphisme de groupe...

[citron_21]

ca empêche rien, c'est juste que c'est pas la même chose.


Enfin remarque que les démonstrations sont dans les 2 cas quasiment identiques, puisqu'on peut voir la linéarité presque comme un morphisme de groupe...

avec la loi interne + dans E et la loi interne + dans F, j'imagine que la linéarité de f peut être considérée comme un morphisme de groupe.
la définition de la linéarité étant : f(x+y)=f(x)+f(y) (donc en quelque sorte, un cas particulier d'un morphisme)

mais dans mon exemple, pourquoi dire que c'est un morphisme de groupe ? La définition de morphisme étant basée sur le choix d'un couple d'éléments (x,y) puis d'appliquer f, ici on se contente juste de prendre 1 seul élément x et de lui appliquer f, non ? pour rejoindre la notion d'injectivité et de surjectivité, on a bien besoin d'un seul élément tq f(x)=y (avec x appartenant à E et y à F)...

Merci d'avance

[Thorin]

On choisit un couple dans la définition, certes, mais on applique pas f au couple. On applique f à la somme des éléments du couple. Ce qui ne représente qu'un élément.

C'est la même chose que lorsque l'on dit que e^x*e^y=e^(x+y)...on utilise un couple d'éléments, et pourtant, rien n'empêche de démontrer la bijectivité de l'exponentielle avec un seul...

[citron_21]

ok, donc si j'ai bien compris, on considère que l'élément que l'on choisit dans E (pour démontrer la bijectivité de f) s'écrit comme somme de 2 éléments de E, afin d'appliquer f à cette somme. Cela rejoint donc la définition d'un morphisme (de groupe ?)...

[Thorin]

Je ne comprends pas vraiment ce que tu dis, mais ça n'a pas l'air d'être juste

[citron_21]

juste par rapport à ce que tu disais avant. Pour qualifier une application f de morphisme, il faut par définition un couple de 2 éléments. Mais on peut s'en passer, et ne prendre qu'1 seul élément de E (que l'on considère comme la somme de 2 éléments de E, pour rejoindre la définition de morphisme). A cet élément, on applique f. Et on peut ainsi parler de bijectivité de l'application f, grâce à un seul élément x tq f(x)=y. Et non pas d'un couple comme dans la définition. Est-ce correct ?
Si oui, cela signifie que toute application f peut être considérée comme un morphisme ?

[Thorin]

Je ne vois pas pourquoi tu veux des couples d'éléments ou des sommes d'éléments quand on veut démontrer la bijectivité. Il y a aucun rapport.



On a une application. Elle peut avoir la propriété d'être un morphisme, et on prouve cette propriété avec un en prenant 2 éléments au hasard. Elle peut aussi avoir la propriété d'être bijective, mais sans rapport avec le morphisme.

[citron_21]

oui, c'est justement ce que je me demandais. Mais ma question initiale étant de démontrer qu'une application f est injective (grâce à Kerf). Vous m'aidez à le démontrer en utilisant que f est linéaire ou que f est un morphisme (cf post #3 ou #4 il me semble). C'est bien que ca a une utilité dans la démonstration...

[Thorin]

C'est parce que le Ker est défini pour les morphisme et pour les applications linéaires...

[citron_21]

A ok ! c'est donc pour ca que f doit être un morphisme ici ^^
ok je te remercie, bonne soirée !