Pgdc

[invite56460777]

Bonjour,

Voilà il existe un résultat qui parait évident à tout le monde:
SI d= PGDC (a,b), alors le PGDC (a/c, b/d) = 1
Je me "creuse la tête" depuis un moment pour montrer cette propriété si simple en apparence.
Merci de votre aide.
-----

[Evil.Saien]

Salut !
qu'est-ce que c ?

[invite765732342432]

Bonjour,

Voilà il existe un résultat qui parait évident à tout le monde:
SI d= PGDC (a,b), alors le PGDC (a/c, b/d) = 1
Je me "creuse la tête" depuis un moment pour montrer cette propriété si simple en apparence.
Merci de votre aide.

Je suppose que tu voulais écrire "PGDC (a/d, b/d) = 1"
Auquel cas j'aurais tendance à dire qu'il s'agit de la définition d'un PGDC.

Et comme on ne démontre pas une définition...

[Evil.Saien]

Sachant que si n divise a et b,
PGCD(a/n, b/n) = d/n
il est facile de démontrer ton problème...
Pour montrer cette propriété, suffit de passer par la décomposition en nombres premiers...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9b7da66e]

pgcd(A,B)=c !=0 donc par l'identité de Bezout il existe a,b tq aA+bB=c

=> (a/c)A+(b/c)B=1 et le théorème de Bezout nous dit que cette dernière équation équivaut à pgcd(A,B)=1

L'identité de Bezout n'est qu'une implication il me semble, mais le théorème est bien un équivalent.

[invite9b7da66e]

=> a(A/c)+b(B/c)=1 et le théorème de Bezout nous dit que cette dernière équation équivaut à pgcd(A/c,B/c)=1 évidemment puisque ce sont A et B qui sont divisibles par c ...

[invite56460777]

Je n'ai pas eu le temps de répondre plus tôt. Le théorême de Bachet de Méziriac (ou Bézout) n'est effectivement pas réciproque:

J'ai donc procédé ainsi
d = PGDC (a,b)
et a et b peuvent donc s'écrire ainsi
a = d*x et b = d*y
x et y sont premiers entre eux par définition

a/d= x et b/d=y
Comme x et y sont premiers, a/d et b/d le sont aussi
donc PGDC (a/c, b/d) = 1

Ce n'est pas peut-être pas très élégant mais ca marche!
Merci de l'aide quand même.

[invite9b7da66e]

Le théorême de Bézout n'est effectivement pas réciproque

Je ne vois pas très bien ce que tu veux dire.

Théorème de Bézout : pgcd(A,B)=1 <=> il existe a,b tq aA+bB=1 il y a équivalence.