Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 8 sur 8

Pgdc



  1. #1
    Brumaire

    Pgdc


    ------

    Bonjour,

    Voilà il existe un résultat qui parait évident à tout le monde:
    SI d= PGDC (a,b), alors le PGDC (a/c, b/d) = 1
    Je me "creuse la tête" depuis un moment pour montrer cette propriété si simple en apparence.
    Merci de votre aide.

    -----

  2. Publicité
  3. 📣 Nouveau projet éditorial de Futura
    🔥🧠 Le Mag Futura est lancé, découvrez notre 1er magazine papier

    Une belle revue de plus de 200 pages et 4 dossiers scientifiques pour tout comprendre à la science qui fera le futur. Nous avons besoin de vous 🙏 pour nous aider à le lancer...

    👉 Je découvre le projet

    Quatre questions à explorer en 2022 :
    → Quels mystères nous cache encore la Lune 🌙 ?
    → Pourra-t-on bientôt tout guérir grâce aux gènes 👩‍⚕️?
    → Comment nourrir le monde sans le détruire 🌍 ?
    → L’intelligence artificielle peut-elle devenir vraiment intelligente 🤖 ?
  4. #2
    Evil.Saien

    Re : Pgdc

    Salut !
    qu'est-ce que c ?

  5. #3
    invite765732342432
    Invité

    Re : Pgdc

    Citation Envoyé par Brumaire
    Bonjour,

    Voilà il existe un résultat qui parait évident à tout le monde:
    SI d= PGDC (a,b), alors le PGDC (a/c, b/d) = 1
    Je me "creuse la tête" depuis un moment pour montrer cette propriété si simple en apparence.
    Merci de votre aide.
    Je suppose que tu voulais écrire "PGDC (a/d, b/d) = 1"
    Auquel cas j'aurais tendance à dire qu'il s'agit de la définition d'un PGDC.

    Et comme on ne démontre pas une définition...

  6. #4
    Evil.Saien

    Re : Pgdc

    Sachant que si n divise a et b,
    PGCD(a/n, b/n) = d/n
    il est facile de démontrer ton problème...
    Pour montrer cette propriété, suffit de passer par la décomposition en nombres premiers...

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    Colas

    Re : Pgdc

    pgcd(A,B)=c !=0 donc par l'identité de Bezout il existe a,b tq aA+bB=c

    => (a/c)A+(b/c)B=1 et le théorème de Bezout nous dit que cette dernière équation équivaut à pgcd(A,B)=1

    L'identité de Bezout n'est qu'une implication il me semble, mais le théorème est bien un équivalent.

  9. #6
    Colas

    Re : Pgdc

    => a(A/c)+b(B/c)=1 et le théorème de Bezout nous dit que cette dernière équation équivaut à pgcd(A/c,B/c)=1 évidemment puisque ce sont A et B qui sont divisibles par c ...

  10. Publicité
  11. #7
    Brumaire

    Re : Pgdc

    Je n'ai pas eu le temps de répondre plus tôt. Le théorême de Bachet de Méziriac (ou Bézout) n'est effectivement pas réciproque:

    J'ai donc procédé ainsi
    d = PGDC (a,b)
    et a et b peuvent donc s'écrire ainsi
    a = d*x et b = d*y
    x et y sont premiers entre eux par définition

    a/d= x et b/d=y
    Comme x et y sont premiers, a/d et b/d le sont aussi
    donc PGDC (a/c, b/d) = 1

    Ce n'est pas peut-être pas très élégant mais ca marche!
    Merci de l'aide quand même.

  12. #8
    Colas

    Re : Pgdc

    Citation Envoyé par Brumaire
    Le théorême de Bézout n'est effectivement pas réciproque
    Je ne vois pas très bien ce que tu veux dire.

    Théorème de Bézout : pgcd(A,B)=1 <=> il existe a,b tq aA+bB=1 il y a équivalence.

Discussions similaires

  1. arithmétique: propriété du pgdc
    Par nanoua dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 1
    Dernier message: 16/01/2007, 15h00