volume de la coupe d'une boule par 1, 2 puis 3 plans

[invitea96ee5a5]

Bonjour, je cherche à calculer le volume de la coup d'une boule par 1, 2 ou 3 plans mais ces plan ne sont pas quelconques c'est les plans x=cte1 y=cte2 et z=cte3.

soit la sphère à l'origine
avec un plan (x=cte) c'est facile je crois que ça donne V=4/3*(Pi-Arccos(cte1/R))*R^3

mais avec deux ça se complique pas mal en effet j'ai essayé d'appliquer la formule avec l'integralle triple sur r, theta et phi mais les bornes quant à phi ne sont pas faciles à trouver (en fait elles varient selon l'endroit ou on est est théta)

enfin c'est dur de tout expliquer là, ça doit se faire mais c'est un peu bourrin donc si vous aviez svp un site où je pourrai trouver une formule, ça m'arrangerait bien....

merci
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[shokin]

Ne faut-il pas voir d'abord où ces plans se coupent ? hors ou dans la sphère ? [un peu comme dans le plan, un cercle coupé par deux droites, il faut déjà voir si le point d'intersection des deux droites se trouve dans le cercle.]

Je ne pense pas qu'il y ait une formule généralisatrice.

Il faudrait déjà situer le centre de la sphère et son rayon.

Shokin

[invitea96ee5a5]

mettons que la boule est de rayon R et que son centre se situe à l'origine.

pour 2 plans

on suppose que les plan sont: x=cte1 et y=cte2 avec cte1^2+cte2^2<R^2 donc la droite que forme l'intersection des deux plans est à l'intérieur de la sphère

[shokin]

Supposons donc le centre à l'origine et le rayons R.

Si 0<R=<1, la boule n'est pas coupée par un plan.
Si 1<R=<2, la boule est coupée par le premier plan.
Si 2<R=<3, la boule est coupée par deux plans.
Si 3<R, la boule est coupée par les trois plans.

Dans ce problème, les trois plans sont orthogonaux entre eux (leurs vecteurs normaux).

Dans le premier cas, 4/3 * pi * R^3

Dans le deuxième cas, ... gloup, comment mesures-tu l'aire commune ? gloup... glou glou...

J'ose pas imaginer la suite.

Shokin

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea96ee5a5]

en fait j'ai pas été très clair ce que je veux c'est pas l'aire de la coupe c'est le volume qui reste lorsque tu coupes,

un exemple: imagine une pomme, tu en coupe un bout (selon un plan qui ne passe pas focément par le centre) tu enlève un des bouts, et tu recoupe l'autre le long d'un plan perpendiculaire au premier tu vire un des bouts, quel sera le volume du bout de pomme qu'il te restera?

pas facile facile à expliquer....là je dois y aller mais demain je ferai un dessin sur paint du volume que je cherche à calculer, ça sera plus clair merci de t'y interresser en tout cas

ciao!

FadY

[Evil.Saien]

Salut !
Tu cherches a calculer un seul volume, mais quel est ton critère de séléction pour choisir le volume qui reste ?

[shokin]

J'ai en fait bien compris ce que tu cherches à calculer, mais je ne sais pas comment le calculer.

Par exemple, comment calculer le volume du morceau de pomme après avoir passé un coup d'épée ? je ne sais pas.

J'imagine qu'il doit y avoir de ces intégrales... mais sous quelle formule ? gloup...

Shokin

[Evil.Saien]

En fait ce problème est éxactement le meme que 2D, sauf qu'on rajoute une étape supplémentaire.
Prend un plan x=a avec 0 < a < R
Ainsi 2 volumes vont être générés, je sais pas lequel des 2 garder, on va les appeler V1 et V2, V étant le volume initiale.
On a V1 = arccos (a / R) / (2Pi - arccos( a / R))
et V2 = V - V1

Voila...
ensuite suffit de répeter avec y et z...

[Evil.Saien]

V1 = arccos (a / R) / (2Pi - arccos( a / R))

Erreur de ma part, c'est en fait V1 / V = ... J'ai oublié d'écrire le / V !