Découpage fractal d'une boule

[invite7553e94d]

Bonjour à toutes et à tous.
J'avais lu il y a quelques temps qu'un mathématicien (un topologiste surement) était parvenu à un découpage-recollage intéressant :
Soit une boule B₀ de rayon R. On défini plusieurs ensembles E_x (un nombre fini ? infini ? indénombrables ?) de points contenus dans cette boule tels que la réunion des E_x soit B₀ et l'intersection deux à deux soit nulle.
Il est alors possible de réorganiser (translations et rotations uniquement) ces ensembles tels qu'ils forment à la fin deux boules B₁ et B₂ de rayon R.

J'avais supposé en lisant cela que le nombre d'éléments (Card({E_x}) valait , et que ces éléments étaient fractals.
Aujourd'hui, j'aimerais en connaitre un peu plus, mes recherches sont infructueuses. Pouvez-vous m'aider, quelqu'un connait-il la démonstration, ou la définition du découpage ?

Merci bien.
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[invited5b2473a]

C'est le paradoxe de Banach-Tarski. Ces deux mathématiciens l'ont trouvé dans les années 30. En fait, on peut montrer qu'on peut découper la boule en 6 morceaux et les recoller pour obtenir deux boules identiques à celle de départ. Ce paradoxe nécessite l'axiome du choix car les morceaux sont obtenus en considérant une certaine relation d'équivalence. Ce paradoxe mets à bas la notion de volume pour toute partie de l'espace.
Ce paradoxe de généralise à R^n (n>=3) mais est faut pour la droite et le plan.

[invite4ef352d8]

indian58 :

as tu une références sur la preuve de cela (si possible... en dimension n). quand tu dit "c'est faux pour le plan" as t'on vraiment prouvé que cela est impossible ?

[invited5b2473a]

Oui, j'avais fait mon tipe en sup sur Banach-Tarski.
Il y a deux bouquins de référence : un bouquin de Steve Wagon qui est très complet mais plus édité et un autre de Marc Guinot qui est une excellente vulgarisation.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

Apres quelque recherche, ne serait-ce pas plutot 'Stan Wagon' ?

[invited5b2473a]

Il y a de fortes chances, je n'ai plus son prénom en tête.

[invite35452583]

indian58 :

as tu une références sur la preuve de cela (si possible... en dimension n). quand tu dit "c'est faux pour le plan" as t'on vraiment prouvé que cela est impossible ?

Il y a un autre sujet en cours sur ces sujets et un autyre ("quadrature du cercle" mais pas grand chose à voir avec le compas et la règle)
Ambrosio a donné ce lien :
preuve du paradoxe de Banach-Tarski
Pour ma part, comme le sujet me tracassait (plus l'existence pour la droite et pour le plan d'une mesure finiment additive invariante pour les isométries définies pour toutes les sous-parties*), j'ai cherché et trouvé ces compléments :
Le paradoxe de Banach-Tarski
aires et volumes : découpage et recollement
mesures finiment additives et paradoxes

* : c'est l'existence de cette mesure qui rend impossible cette duplication de la boule pour le plan et la droite (au fait en passant il suffit de 5 morceaux pour la boule en D3 et non de 6).
D'ailleurs, l'alternative de Tarski dit en gros que soit ça duplique soit il existe une mesure finiment additive définie pour toutes les parties invariante...

[invited5b2473a]

D'ailleurs, l'alternative de Tarski dit en gros que soit ça duplique soit il existe une mesure finiment additive définie pour toutes les parties invariante...

Exactement!
Pour continuer sur ce paradoxe (qui n'en est pas un en fait), deux mathématiciens, Dougherty et Foreman, ont démintré dans les années 90 une version de ce paradoxe sans utiliser l'axiome du choix mais avec des morceaux ayant la propriété dite de Baire.

[inviteb0df2270]

Oui, j'avais fait mon tipe en sup sur Banach-Tarski.
Il y a deux bouquins de référence : un bouquin de Steve Wagon qui est très complet mais plus édité et un autre de Marc Guinot qui est une excellente vulgarisation.

Il est encore édité le bouquin de Wagon

Mais c'est d'un niveau vraiment très élevé, Master 1 minimum requis à mon avis, et encore, pour ne comprendre que les 4 premiers chapitres

[invited5b2473a]

Ouais mais il a le mérite d'être bien complet. Cependant, le bouquin de Marc Guinot constitue une excellente approche pour le novice.