Difféomorphismes

[Quinto]

Salut,
je me demandais une chose à propos des difféomorphismes, pour démontrer une extension du lemme de Poincaré:
"Soit U un ouvert infiniment difféomorphe à la boule unité, montrer que toute forme différentielle fermée sur U est exacte."

Le lemme de Poincaré nous dit ceci:
Soit U un ouvert étoilé par rapport à un point p. Alors toute forme fermée sur U est exacte.

En fait je pense que lorsque l'on a un étoilé par rapport à un point, son image par un Coo difféomorphisme ne sera pas étoilé.

Je me demandais si on avait cependant le résultat lorsque l'on change la propriété étoilée, par convexe.

ie:
Toute image (resp image réciproque), d'un convexe reste convexe, par difféomorphisme.

à partir de là ce serait trivial.

Que pensez vous de ce résultat?
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[inviteca3a9be7]

Salut Quinto,


A mon avis non.

Dans IR², la sphère et le "haricot" sont C°° difféomorphe par
r*e^i*a = > (r+cos(a)²) * e^i*a
mais le "haricot" n'est pas convexe.

Amicalement.

[Quinto]

Salut,
merci de ta réponse.
En fait je pense avoir trouvé la réponse et l'ai postée sur les maths .net

En fait j'étais plus ou moins sur que ca ne marchait pas, je déformais continûment dans ma tête des boules pour arriver à des trucs non convexe, et j'ai eu plusieurs confirmations.
Je pense avoir trouvé la réponse à mon problème de départ, en faisant des changement de variable dans les 2 sens.
En fait je compose par mon difféomorphisme f, je travaille dans ma boule unité, j'y montre le résultat (lemme de Poincaré) et je reviens dans mon ouvert en recomposant par f^(-1)...
Merci encore.
Amicalement.

[invite8f53295a]

Je me demandais si on avait cependant le résultat lorsque l'on change la propriété étoilée, par convexe.

ie:
Toute image (resp image réciproque), d'un convexe reste convexe, par difféomorphisme.

à partir de là ce serait trivial.

Que pensez vous de ce résultat?

Aucune chance, le difféomorphisme est un truc très souple en fait. Par exemple une conséquence d'un théorème de Riemann est que tout ouvert simplement connexe du plan est difféomorphe au disque unité ouvert (et même conformément équivalent si on suppose cet ouvert différent de C, et c'est beaucoup plus fort : là on conserve les angles).

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteca3a9be7]

Bonjour,


Tiens d'ailleurs je me demandais, à part les fonctions linéaires les C°° diff de R^n dans R^n qui transforment tout convexe en un convexe, vous en voyez ??

[invite51f4efbf]

Toute image (resp image réciproque), d'un convexe reste convexe, par difféomorphisme.

à partir de là ce serait trivial.

Que pensez vous de ce résultat?

C'est clairement faux, mais pour prouver ta version du lemme de Poincaré, tu as juste à ramener ta forme par pullback : il préserver la fermeture et l'exactitude, puisque le difféo est C^inf

Edit : je lirai tout en entier

Pour au dessus : les fonctions 1-Lipshitz, non ? C'est en attendant une excellente question, ça va m'intéresser pour les prochains jours ça