Équation transcendantale!

[invite0dacff7f]

Bonjour!

Je me demandais si quelqu'un avait une idée ou je pourrais trouver une démonstration mathématique similaire à celle-ci?

Cot(a*n)=(1-a*h)/(a*n)

a,h= Constante
n=variable vérifiant la solution.

La solution constitue l'ensemble des points qui coupent les fonctions cotangentes et l'hyperbole (1-ah)/an. Bref, la solution du croisement de la fonction tangente avec un autre hyperbole serait aussi valable.

Dans le cas du croisement d'une droite, il est plus rapide d'y aller intuitivement et de trouver :

Cot(n) = n/a

Posssède les solutions suivantes:

Si a=0, la droite x/a coincide avec l'axe des x et les solutions sont : ni=(i-1)*(Pi)

Si a= infinie, la droite x/a coincide avec l'axes des y et les solutions sont : ni=(2i-1)*(Pi)/2

Sinon, la droite se retrouve entre les 2 axes et j'ai le même problème à trouver les solutions....

Note : Ces équations proviennent de transfert de chaleur. Dans le cas de Cot(n)=n/a, a serait le nombre de Biot. Dans l'autre cas, a est le rayon d'une sphere et h le coefficiant de transfert par convection.

Bref, si quelqu'un peut me donner une piste pour tenter de solutionner ce problème, je vous serais très reconnaissant.
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[invite4793db90]

Salut,

en fait, tu cherches à exprimer les solutions de l'équations cot(a*n)=c/n (a,c constantes)?

A mon avis, on ne peut pas en dire grand chose... Que souhaites-tu exactement? Si c'est une formule, il ne me semble pas qu'il y en ait.

Cordialement.

[invite0dacff7f]

J'ai terminé mon travail et je peux donner quelques pistes.

Au faite, j'avais mal formulé mon problème dù à mon inexpérience pour ce genre de d'excercice.

Ma fonction de départ est :

u(r,t) = (A Sin(nr) + B Cos(nr) ) * exp (-n²at)

où r est le rayon d'une sphère et t le temps et "a" la diffusivité thermique et "n" une constante réelle postive arbitraire.

Cette équation s'obtient par séparation de variable c'est à dire :

u(r,t)=F(r)*G(t)

J'ai du applique mes conditions limites qui sont :

à r = 0, symétrie u=0

à r=R, u'+u*(1-h/R)=0 (h=coefficiant de convection)

De ces conditions limites, je trouve que B=0

et A est la solution de l'équation transcendentales suivante :

Cot(n*R)= (R*h-1)/R*n

Cette dernière équation constitue le croisement d'une hyperbole avec la fonction contangente et est de la forme : xCot(x)+C=0.
Ces valeurs sont généralement tabulés. Mais pour trouver la solution analytique qui régit le transfert de chaleur on doit utiliser tout ce qui a été dit plus haut.

u(r,t) possède alors une solution de la forme d'une série de fourrier et que les constantes Ai sont solution de l'équation Transcendantale précédentes.

u(r,t)= A1*X1 + A2*X2 + ... et les Ai*Xi vont de 1 à l'infinie....

et

Xi = h/n*Sin(nr) ***

le rapport h/n découle des conditions limites appliquer au problème combiner avec des calcules différentiels. On retrouve la démonstration complète et rigoureuse dans le livre Heat Condution in Solids de Carslaw and Jaeger section 3.9 pour un mur plan plutôt qu'une sphère mail le principe demeure le même.

Apres quelques autres manipulations mathématique, on trouve que les Ai sont de la forme suivante :

Ai = 2/R*(R²n²+(Rh-1)²)/(R²n²+Rn(Rh-1))* Intégrale

Note : n change pour chaque valeur de Ai j'aurais du écrire ni.

L'intégrale constitue un produit de la fonction de distribution de départ avec le fameux Xi de ***

Bref, ce n'était vraiment pas facile et je bénit M. Carslaw et M. Jaeger de m'avoir fournit les pistes de la solution.

Et pour ceux qui veulent savoir la solution finale du système pour la température de la sphère immergée dans un fluide à un température TF et dont la température initiale de la sphère est TI

T(r,t)=2*h*(TI)/r *somme[(R²n²+(R*h-1)²)/(R²(R²n²+R*h(R*h-1)))*exp(-n²at)*sin(nr)*sin(nR)]


La somme constitue la série de fourrier de 1 à l'infinie, et ce qui varie à l'intérieur c'est la constante n qui prend une valeur différente pour chacun des termes.

Bref, cet excercice me semble un peu trop poussé pour un cours de maîtrise. J'espère ne pas avoir à refaire de démonstration du genre dans le futur. Sans mon corrigé, je serais très mal à l'aise de répondre aux questions qui peuvent suivre.

Cependant, si d'autres personnes ont des problèmes à résoudre analytiquement des problèmes de transfert de chaleur au niveau du baccalauréat, je serai disponible pour répondre!

Merci à ceux qui ont porter un brin d'attention!