Problème de fonctions analytiques

[invitee75a2d43]

Bonjour,

J´ai de nouveau un exo sur lequel je bloque complètement. On donne deux séries:

f₁(z) =


f₂(z) = .i +

La première converge sur le disque ouvert |z|< 1, et la deuxième sur le disque ouvert |z-2| < 1

Il s´agit de prouver qu´il existe un ouvert connexe U contenant les deux disques et une fonction analytique g sur U telle que

g(z) = f₁(z) si |z|< 1 et g(z) = f₂(z) si |z-2|< 1

J´ai d´abord pensé réunir les deux disques D₁ U D₂ mais ça ne va pas car cette union n´est pas connexe. D´autre part la deuxième fonction m´a rappelé un déterminant du logarithme, mais ça ne donne rien et je ne suis pas allé plus loin.

Si quelqu´un a une idée, ça m´aiderait.

Merci d´avance

christophe
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[invite9cf21bce]

Bonjour.

Soit l une détermination du logarithme sur l'ouvert U = R privé de la demi-droite des ib, , et telle que l(1)=0

Alors , puisque l(z/|z|)/i est un argument continu.

Tu remarques que forcément, f1(z)=-l(1-z), puisque même dérivée et même valeur en 0.
Forcément aussi, f2(z)=-l(1-z) (même dérivée et même valeur en 2).

z |-> -l(1-z) est holomorphe sur l'ouvert 1-U.

Taar.

[invite9cf21bce]

Ah oui, pardon.

J'oubliais de dire que ceci ne marche que si tu prends

f₂(z) =

Taar.

[invite9cf21bce]

Zut, je recommence.

Soit l une détermination du logarithme sur l'ouvert U = C privé de la demi-droite des ib, , et telle que l(1)=0

Alors l(-1)=, puisque l(z/|z|)/i est un argument continu.

f1(z)=-l(1-z), puisque même dérivée et même valeur en 0.
f2(z)=-l(1-z) (même dérivée et même valeur en 2).

z |-> -l(1-z) est holomorphe sur l'ouvert 1-U.

Ouf. Deux c*** en quatre minutes, je pars faire une sieste.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee75a2d43]

argument continu? Je vois que j´ai pas bien assimilé le cours

N´empêche: je vois ce que tu veux dire, donc il faut trouver une détermination du log.

Peut-on toujours dire que l´ouver C privé de la demi-droite b.i (b>= 0) admet une détermination du logarithme?

[invitee75a2d43]

z |-> -l(1-z) est holomorphe sur l'ouvert 1-U

Je crois avoir compris ta démarche, mais que veux tu dire par "1-U"?

D´après mes dessins, l´ouvert où ça marche serait privé de la droite b.i avec b 1, car le segment où b 1 est dans le premier disque. Est-ce ça que tu entends par 1-U?

Si je comprend bien cet exercice (je pense que c´est un exo classique), il faut d´abord dériver et voir que les deux fonctions sont égales á une constante près, puis après seulement choisir l´ouvert approprié?

[invite9cf21bce]

On appelle argument continu sur un ouvert de C (ne contenant pas 0) toute fonction continue qui, à z, associe un réel qui convienne comme argument de z. Pour qu'il en existe, il faut et il suffit que l'ouvert n'isole pas 0.

Je crois avoir compris ta démarche, mais que veux tu dire par "1-U"?

D´après mes dessins, l´ouvert où ça marche serait privé de la droite b.i avec b 1, car le segment où b 1 est dans le premier disque. Est-ce ça que tu entends par 1-U?

Non. La détermination l du logarithme concerne la variable 1-z. L'ouvert U doit donc contenir :
le disque de centre 1 et de rayon 1
le disque de centre -1 et de rayon 1

En revenant en variable z, tu trouves l'ouvert . C'est C, privé des 1-ib, où b parcourt les réels positifs ou nuls (= privé de la demi-droite d'origine I(1;0) et pointant vers le bas).

Si je comprend bien cet exercice (je pense que c´est un exo classique), il faut d´abord dériver et voir que les deux fonctions sont égales á une constante près, puis après seulement choisir l´ouvert approprié?

Si tu as une fonction holomorphe f qui recolle f₁ et f₂, alors sa dérivée recolle f'₁ et f'₂. Comme la dérivée de f₁, c'est 1/(1-z), alors forcément, la dérivée de f est aussi 1/(1-z) par le principe du prolongement analytique, donc celle de f₂ aussi. C'est comme ça que j'ai détecté le typo dans ta définition de f₂. Note que cette condition est nécessaire pour qu'il existe un recollement, mais pas suffisante : si tu remplaces la constante de f₂ par 0, il n'existe plus de recollement (dans cet exemple particulier, les seules valeurs possibles sont les à cause des propriétés spécifiques des déterminations du logarithme ; pire, comme les deux disques se touchent, je pense que les seules constantes possibles sont et ).

C'est effectivement un exo classique. L'idée est de trouver une forme close (ici -ln(1-z)+C, par exemple, grâce aux dérivées) puis d'ajuster :
1. trouver un ouvert U ou ln(u) puisse être déterminé, de sorte qu'en variable z=1-u, l'ouvert obtenu contienne les deux disques)
2. trouver la bonne détermination et la bonne valeur de C (ce qui revient en fait à choisir un détermination au hasard et à changer C pour s'ajuster à f₁)
3. ici, contrôler que le choix de U fasse tourner l'argument dans le bon sens pour que la fonction trouvée s'ajuste à f₂ (et changer U si nécessaire).

[invitee75a2d43]

Merci, je vais méditer tout cela, mais ça va prendre du temps....