Exercice prépa HEC sur les fonctions

[invitec3d54b1a]

Bonsoir à tous, j'ai ici un problème de maths que je n'arrive pas à résoudre.
Je vous indique donc l'énoncé, ce que j'arrive à faire, et où je bloque.

Soit p un nombre réel appartenant à ]0,1[. On pose q=1-p et on définit pour tout nombre réel x :


1) Justifier la dérivabilité de f sur et calculer f(0) et f'(0)

Ma réponse: ¤ f est une combinaison algébrique de fonctions dérivables, en l'occurence des fonctions logarithme et exponentielle. De ce fait, f est dérivable sur => Est-ce suffisant comme réponse?
¤ f(0)=ln[ ] = ln[p+q]=ln[p+1-p]=ln[1]=0
Il en résulte que f'(0)=0
=>Est-ce correct ?

2) Montrer que la dérivée seconde de f peut s'écrire en tout point x sous la forme: avec A(x)>0 et B(x)>0 à déterminer.

Ici je commence donc à calculer mais je n'aboutis à rien, donc je vous détaille ce qui me semble juste, jusqu'au moment où cela coince

Ma réponse:
or,
donc,

Et donc là je simplifie et je trouve :

Mais le problème est qu'ensuite je n'arrive à rien en dérivant une deuxième fois

Je mettrai la troisième question quand j'aurais réussi celle là, si vous arrivez à me mettre sur la piste

Merci infiniment de votre aide Bonne soirée
-----

[invitec3d54b1a]

Je suis désolé d'insister, mais je suis assez paniqué puisque je dois avoir une piste aujourd'hui ... Ce serait cool que quelqu'un s'y penche sous peu

[Flyingsquirrel]

Salut,

Pour la 1° c'est bon jusqu'à f'(0). Je ne comprend pas le "Il en résulte f'(0)=0". f' s'annule en 0, c'est vrai, mais pas parce que f(0)=0. Il faut calculer la dérivée pour le montrer.

Pour la 2° je suis d'accord avec l'expression de f' simplifiée... et pour f'' je n'arrive pas à la mettre sous la forme demandée, j'ai une constante multiplicative p+q qui se promène et que je n'arrive pas à faire rentrer dans A ou B

[invitec3d54b1a]

Salut,

Pour la 1° c'est bon jusqu'à f'(0). Je ne comprend pas le "Il en résulte f'(0)=0". f' s'annule en 0, c'est vrai, mais pas parce que f(0)=0. Il faut calculer la dérivée pour le montrer.

Pour la 2° je suis d'accord avec l'expression de f' simplifiée... et pour f'' je n'arrive pas à la mettre sous la forme demandée, j'ai une constante multiplicative p+q qui se promène et que je n'arrive pas à faire rentrer dans A ou B

Tel était mon problème, es-tu donc sûr de l'expression simplifiée de f' ?
Et pour la 1°, il faut donc d'ores et déjà déterminer l'expression de la dérivée de f donc ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec3d54b1a]

EUREKA , J'ai la bonne réponse !!
Merci de ton aide Flyingsquirrel, le simple fait d'avoir confirmé l'expression de f' m'a aidé !
Ce n'est pas encore fini, mais merci déjà

[invitec3d54b1a]

Voici donc le détail du reste de 2°



donc



Donc

C'est donc bien de la forme demandée, si quelqu'un pouvait vérifier ce résultat ce serait vraiment super cool !

[Flyingsquirrel]

OK pour f''. (en fait mon facteur p+q disparaît car il vaut 1 vu que p=1-q )

[invite6b1e2c2e]

Soit p un nombre réel appartenant à ]0,1[. On pose q=1-p et on définit pour tout nombre réel x :


1) Justifier la dérivabilité de f sur et calculer f(0) et f'(0)

Ma réponse: ¤ f est une combinaison algébrique de fonctions dérivables, en l'occurence des fonctions logarithme et exponentielle. De ce fait, f est dérivable sur => Est-ce suffisant comme réponse?
¤ f(0)=ln[ ] = ln[p+q]=ln[p+1-p]=ln[1]=0
Il en résulte que f'(0)=0
=>Est-ce correct ?

Salut,

Je suis "en gros" d'accord, mais on te demande de montrer que f est dérivable sur R, donc il faut vérifier (ou dire puisqu'ici c'est essentiellement trivial) que ce qu'il y a dans le log est toujours >0.

__
rvz

[invitec3d54b1a]

Merci encore Flyingsquirrel

En ce qui concerne la suite de mon exo, il y a deux encadrements à trouver:
3° Montrer que
4° En déduire que

Pour démarrer, faut-il commencer par l'encadrement suivant:
0<p<1 ? Parce que je m'embrouille beaucoup en commençant par ça et j'aboutis à quelque-chose de totalement inutile...

[invitec3d54b1a]

J'ai oublié de remercier rvz pour sa précision

[invitec3d54b1a]

Etant donné que personne n'est intervenu pour mon problème lors de ces 5 derniers jours et que je n'ai toujours pas trouvé, à la suite de recherches personnelles, de pistes pour résoudre mes deux dernières questions, je me permets de faire un "up" et vous repose les deux questions qui sont les suivantes :

En ce qui concerne la suite de mon exo, il y a deux encadrements à trouver:
3° Montrer que
4° En déduire que

Pour démarrer, faut-il commencer par l'encadrement suivant:
0<p<1 ? Parce que je m'embrouille beaucoup en commençant par ça et j'aboutis à quelque-chose de totalement inutile...

Merci d'avance de bien vouloir me donner des pistes

[invitec3d54b1a]

S'il vous plait, je suis desespéré là ....

[Médiat]

Tu as vu que f''(x) peut s'écrire sous la forme ab/(a+b)², avec a et b > 0, ton problème peut s'écrire :

ab/(a+b)² <= 1/4 ou encore (a et b positifs)
(a+b)²/ab >= 4 c'est à dire
a²/ab + 2ab/ab +b²/ab >= 4 après simplification

a/b + 2 + b/a >=4
a/b + b/a >= 2 en posant a/b = x (donc x > 0)

x+1/x >= 2, et une petite étude de fonction te donne la réponse.

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Variante : Pose x = a/(a+b). Alors 1-x = b/(a+b), et donc tu peux essayer de montrer que x(1-x) <=1/4 pour tout x, ce qui est vrai ...

__
rvz

[Médiat]

Autre variante, on divise numérateur et dénominateur par b² et on pose a/b = x, il reste x/(1+x)² qui est <= 1/4.

[invitec3d54b1a]

Merci infiniment !

Mais la dernière question découle bien directement de la précédente n'est-ce pas ? Parce que je n'arrive pas à m'en dépétrer ...

[inviteaa327ae2]

bonjour,
maintenat que tu as trouvé que : f"(x)<=1/4 il te reste a intégrer deux fois:
f"(x)<=1/4
implique que f'(x)<=(1/4)*x
implique que f(x)<=(1/4)*(x²/2)
résultat: f(x)<=(x²/8)

^^