Théorie des jeux et matrices

[invite8ebd7639]

Salut,
en ce moment j'étudie (pour mon plaisir !) les jeux et leur représentation sous forme matricielle.
On considère un ensemble de $n$ joueurs qui jouent ensemble ; on peut associer à un tournoi une matrice M de sorte que lorsque le joueur i gagne contre le joueur j on pose M[i,j]=1 et M[j,i]=-1. On obtient ainsi une matrice anti-symétrique en rajoutant des 0 sur la diagonale.

Mes questions sont les suivantes:
1) à isomorphisme près, sait-on combien de configurations de tournoi il existe en supposant que chaque joueur gagne et perd au moins une partie ?
2) peut-on dire quelque chose sur les valeurs propres des matrices ?
3) je n'ai pas de biblio, y a-t-il des livres qui étudient ce type de jeu ?

Je vous remercie par avance de vos commentaires
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[invite18e208e2]

SALUT
Pour un ensemble de n joueurs, il existe T (n) = n
(n-1)/2 tournois. Il y en a P (n) = 2^T (n) possibilités.
Par exemple pour n = 2 (2 joueurs) , il y a 1 seul tournoi (T(1) = 1) et P (2) = 2 possibilités :
1 gagne contre 2 ou 2 gagne contre 1.
Et en général :
P (n) = nC0 + nC1 + … + T (n) C T (n) = 2^T (n) selon le binôme de Newton.
Pour les valeurs propres associées à ces matrices, j'en est aucune idée.

[kinette]

3) je n'ai pas de biblio, y a-t-il des livres qui étudient ce type de jeu ?

Bonjour,
Pour des applications, le livre de Dawkins Le gène Egoïste donne de bons exemples, bien expliqués.

J'aime bien aussi le livre de John Maynard Smith
John Maynard Smith : Evolution and the Theory of Games, Cambridge University Press 1982

Enfin, plus "scolaire" mais bien fait:
Game Theory Evolving by Herbert Gintis

Cordialement,
K

[invite8ebd7639]

Merci pour vos réponses !

IDER, je souhaite ne prendre en compte que des tournois où tout le monde gagne et perd au moins une partie. Cela en fait moins que ce que tu dis !

[A voir en vidéo sur Futura]