Nombre premier et congruences
Bonjour. Je ne parviens pas à résoudre la question suivante. Quelqu'un pourrait-il m'aider ? Merci d'avance.
On pose le lemme suivant: si p est un nombre premier et si p congru à 1 modulo 4 alors il existe un entier a tel que a2+1 congru à 0 modulo p.
Il faut montrer que l'on peut trouver à partir de l'entier a, un entier, qu'on notera encore a, et qui vérifie a2+1 congru à 0 modulo p et 0<a<(p-1)/2
Tu peux par exemple simplement constater que si a convient à l'équation de départ, alors, (a-p) convient aussi. Par récurrence, (a-kp) convient aussi pour tout entier k.
Parmi ceux-là, il en existe forcément un qui satisfait la seconde condition. (plus précisément, il existe k tel que (a-kp)<p, alors, soit a-kp<(p-1)/2, auquel cas c'est bon, soit a-kp>(p-1)/2, auquel cas il suffit de retrancher p encore une fois, et de prendre la valeur absolue).
Thorin.
Au fait, si quelqu'un est motivé (par exemple, j'ai vu que galaxieA440 traine par là), il peut mettre cet exo dans le topic de Spé maths sur le forum des maths collège/lycée, c'est un petit exo qui ne demande pas de connaissance du supérieur, et il sort de l'ordinaire...
