e^(i.t)

[invitec7b3f097]

e^i.t=cos(t)+i.sin(t)

Mais est-ce une "notation" ou cela peut-il se démontrer comme je l'ai entendu (par un dvp en série) ?
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[invite4b9cdbca]

Euh, je crois que c'est démontrable, mais pas en terminale S...

[Quinto]

Ca peut se démontrer.

Notamment, tu peux montrer qu'une équation différentielle:

z''+z=0
Il est clair que le premier membre vérifie ceci, et que le 2e également.
On montre que l'ensemble des solutions est un R-ev de dim 2 et on conclut.

Sinon on peut passer par les développements en série, en effet.
A+

[Quinto]

En fait j'ai lu une démo pas plus tard qu'hier, en fait 2, et elles étaient dues à Euler lui même.
Je crois que c'était sur lesmathematiques.net

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite787e8665]

J'ai eut une démonstration (sans l'etre) sur le fait que exp(t)=cost+isint:

C'est fait par un docteur en physique, a partir du développement limité:

Le dl de :



Celui de exp(x):


On pose x=iT (i complexe):
On obtiens apres développement:

[Quinto]

En fait, c'est un développement en série, le développement limité ne permettrait pas de conclure.

[invite787e8665]

Ce que j'ai mit précédemment permet de conclure non?

[Quinto]

Si tu as un développement limité non, si c'est un développement en série oui.
Ce qui est drole c'est que c'est exactement la meme démonstration que pour 0.99999...=1 mais celle ci ne te choque pas...

[Quinto]

Si on pose
z''+z=0

et que l'on pose
z=x
y=x'
on obtient
x'=y
y'=-x

matricellement:
X'=AX
A valant
(0 1)
(-1 0)

et en poursuivant un peu les calculs, on arrive au résultat:
exp(At)=
(cost sint)
(-sint cost)
sauf erreur
et on remarque que l'ensemble des matrices du type
(a b)
( -b a)
est isomorphe en tant que corps à C.
ainsi
(0 1)
(-1 0) = i

et exp(At)=expt(it)
(cost sint)
(-sint cost) = cost+isint
et donc
exp(it)=cos(t)+isin(t)

Démonstration personnelle qui me plait (en toute modéstie

[invite787e8665]

Si tu as un développement limité non, si c'est un développement en série oui.
Ce qui est drole c'est que c'est exactement la meme démonstration que pour 0.99999...=1 mais celle ci ne te choque pas...

Bah a partir du moment ou tu sais que une calculatrices transforme chaque opération en développement en série, et que pour tous les calculs importants, on utilise une calculatrice, non ca me choque pas

[zoup1]

Bah a partir du moment ou tu sais que une calculatrices transforme chaque opération en développement en série, et que pour tous les calculs importants, on utilise une calculatrice, non ca me choque pas

Il y a quelque chose d'extrèment inquiétant dans cette phrase... Il semblerait que les imperfections de la machine est pris le pouvoir face à l'intelligence.

[invite51f4efbf]

Tu dérives le quotient : ça vaut 0. Les deux sont donc égaux à un coefficient multiplicatif près dans tout ouvert connexe de IR, et tu trouves en t=0 que le coefficient vaut 1.

[invite787e8665]

Il y a quelque chose d'extrèment inquiétant dans cette phrase... Il semblerait que les imperfections de la machine est pris le pouvoir face à l'intelligence.

Oui mais la machine établit des calculs que nous ne pouvons faire dans un laps de temps très cours donc...

[Quinto]

Je ne vois pas le rapport. Les maths théoriques ne sont pas faites pour avoir une solution approchée d'un problème, mais pour avoir la solution exacte.
D'ailleurs quel rapport avec les calculatrices ici?

[zoup1]

Oui mais la machine établit des calculs que nous ne pouvons faire dans un laps de temps très cours donc...

Tu sembles réduire les mathématiques au calcul...

[invite787e8665]

Me faites pas dire ce que j'ai pas dit. j'ai donnée une définition de la relation entre exp(iT)=cosT+isinT en utilisant le développement série et on me sort que ce n'est qu'une approximation mais comme les fonctions du style exponentielle sont des approximation par le développement en série, cette relation est donc démontrable par le développement en série

[zoup1]

Me faites pas dire ce que j'ai pas dit. j'ai donnée une définition de la relation entre exp(iT)=cosT+isinT en utilisant le développement série et on me sort que ce n'est qu'une approximation mais comme les fonctions du style exponentielle sont des approximation par le développement en série, cette relation est donc démontrable par le développement en série

NOn ce n'est pas cela, c'est juste que tu l'as écrit comme un développement limité et c'est d'ailleurs le terme que tu as utilisé... Auquel cas ce n'est pas une démonstration...
Quinto faisait simplement remarqué que si tu remplacait le développement limité par un développement en série alors il n'y avait plus d'approximation et cela devenait une démonstration.

[Quinto]

Et puis un développement en série n'est pas une approximation.

Ensuite, tu nous dit que si on approxime alors on pourra avoir une approximation du résultat mais c'est totalement faux:

0.001 peut s'approxmier par 0.0011 qui n'est pas si loin de 0.0012 qui ... et ainsi de suite, qui n'est pas si loin de 10.

La différence est que le développement en série n'est pas une approximation mais le résultat EXACT.

[invitec7b3f097]

Merci pour vos réponses, mais le truc que je ne vois pas c'est que par ex R is R fait un DL de e^(ix) ... Mais pouquoi e^(ix) a-t-il "un sens", puisque ix est complexe et non réel ?

[Quinto]

Mais pourquoi e^(z) aurait moins de sens lorsque z est complexe que lorsque z est réel?
En fait il n'y a pas de raison.
En fait, dans une algèbre de Banach, l'exponentiel de quelque chose à toujours un sens.
Une algèbre de Banach est une algebre normée et complete.
La complétude est une propriété qui dit que si toute suite de cauchy tend vers 0, alors c'est équivalent à dire que ta suite converge.
On peut montrer, que si une série est convergente en norme, alors elle converge, dans un espace complet (critère de Weirstrass).

Le fait que ton algebre soit normée implique que la norme de la somme d'éléments x1,x2,...,xn est toujours inférieure à la somme des normes de x1,x2,...,xn (inégalité triangulaire)
et également que la norme du produit est inférieure au produit des normes (définition de la norme dans une algèbre)

Ainsi, avec tout ce que je viens de dire, on peut montrer que dans une algèbre de Banach, et c'est même trivial maintenant, que
1+x+x²/2+... aura toujours un sens ....

Maintenant, remarquois que C est un corps, en particulier une C-algèbre de dimension 1 sur lui même.
De plus C=R² et R est complet, donc R² est complet et C est complet.
C est complet, et C est une algèbre normée (normée par le module par exemple)
Ainsi, parler d'exponentiel de complexe a bien un sens.

En fait, si l'exponentiel d'un réel, pourquoi pas celui d'un complexe ?

[zoup1]

Quinto !!! Lord a 17 ans (enfin c'est ce qu'il dit) alors l'algèbre de Banach... je ne sais pas si le développement en série n'est pas déjà au delà de ses connaissances ??

[Quinto]

Salut.
Mais j'ai expliqué ...
Pis je le connais à travers la toile, et je sais qu'il est très fort en maths et qu'il comprendra surement
Et puis les explications s'addressaient à tous.

Une explication plus sommaire, qui marche pour C:
Considère la suite
u[z](n):=(1+z/n)^n

[invitec7b3f097]

Ok, merci beaucoup, je vois à peu près.

[zoup1]

Ok j'ai rien dis...

[invite8f53295a]

Enfin attention, tout dépend quand même des définitions que l'on prend. Commence-t-on par définir cos et sin ou d'abord exp ?
Voici ce que je prédère (mais c'est personnel) : construire exp sur C comme l'a expliqué Quinto, puis définir cos et sin par e^(ix)=cos(x)+i sin(x). Puis beaucoup s'amuser pour redémontrer toutes leurs propriétés...

[martini_bird]

Bonjour à tous,

je me permets de vous recommander chaleureusement la lecture du prologue de Analyse réelle et complexe de Walter Rudin, DUNOD, 1998. A partir de la définition de l'exponentielle par la série bien connue, il y est démontrées les propriétés classiques de l'expentielle et des fonctions trigonométriques. A voir absolument!

Cordialement.

[invite8f53295a]

Il ne prend pas une définition de pi pour le moins chelou ?