Probleme MathÉmatique

[invitef178151b]

Rappelons q'une matrice carrée A est inversible det(A) = pas 0. Considérons le système de 3 équations linéaires a 3 inconnues x,y et z avec le paramètre k

x-3z=-3
2x+ky-z=-2
x+2y+kz=1

Déterminez les valeurs de k de telle sorte que le système d'inconnues ait:

a) une solution unique
b) aucune solution
c) une infinité de solutions
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[invitebf65f07b]

tout d'abord bonjour...
le problème est pour toi ou pour nous ?
si c'est pour toi, tu as tres justement rappelé le résultat qui te permettras, en regardant dans ton cours, de répondre...

[invitef178151b]

je suis bloqué depuis 1 heure sur se probleme , j'ai beau regarder mes notes sa ne débloque pas

Merci de votre aide!

[invitebf65f07b]

traduis ton systeme en matriciel, puis utilises les propriétés qui trainent dans ton cours...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef178151b]

Avec les rangs des matrices, on trouve en k = 2 une solution unique et en k = -5 aucune solution. Je ne suis pas certain de mon résultat et je suis incapable de trouver la valeur de k afin d'obtenir une infinité de solutions.

Merci de ton aide.

[Coincoin]

Salut,
Tu peux expliquer comment tu as trouvé ces résultats... Je pense qu'il y a une erreur...

[invitebf65f07b]

moi non plus je suis pas sur...
la solution unique c'est pour A inversible donc pour plusieurs valeurs de k (k n'est pas racine du polynome)
ensuite tu as 3 valeurs de k pour trouver ton bonheur

[Coincoin]

Euh... pourquoi 3 ?
On calcule le déterminant, on obtient ici un polynôme de degré 2 en k, s'il est non-nul, on a une unique solution. S'il est nul alors on a des équations linéairement dépendantes, il faut voir si elles sont compatibles (infinité de solutions) ou contradictoires (pas de solution)

[invitebf65f07b]

je t'avoue que j'ai pas calculé le déterminant et que j'ai même pas vérifié la tête qu'il aurait ...
effectivement c'est bien du degré 2 en k

[invitef178151b]

Merci de votre aide,

j'ai trouver mon résultat de la façon suivante. Le déterminant de la matrice est (k^2 + 3k - 10). Alors on a déterminant = 0 lorsque k = 2 et k = -5.

Pour la solution unique, le rang de la matrice augmenté doit être égal au rang de la matrice (x,y,z). On trouve k = 2

Pour aucune solution , le rang de la matrice augmenté doit être supérieur au rang de la matrice (x,y,z) On trouve k = -5

Pour la solution infinie, le rang de la matrice augmenté doit être inférieur au rang de la matrice (x,y,z)

Je ne suis cependant pas certain de la méthode.

Merci à l'avance!

[invitebf65f07b]

je vois pas trop d'où sort ton argumentation, regarde le poste #8 qui résume (brievement mais completement) les notions nécessaire à résoudre le truc.

ps : ta méthode et ton résultat sont faux

[invitef178151b]

Si je reprend la citation 8 j'obtient maintenant une solution unique pour les réels sauf pour -5 et 2.

Cependant je ne trouve rien concernant la notion d'incompatibilité ou de contradiction

Merci

[invitebf65f07b]

ca fait deja un premier résultat de juste.
le probleme si le déterminant est nul, c'est que ta matrice est de rang 2 ou 1. il faut voir si l'image de R3 qu'elle donne contient ton vecteur (-3,-2,1) ou pas. si oui, tu as une infinité de solutions, si non alors tu n'as pas de solutions.
allez bonne nuit et bon courage

[invitef178151b]

Merci de votre aide !

Vous m'avez beaucoup aider

Sebastien

[Jeanpaul]

Les équations sont si simples qu'on peut résoudre par substitution. On finit par tomber sur une équation en z du genre Az = B qui peut avoir 1, 0 ou une infinité de solutions.
Ca n'enlève rien à la méthode par les déterminants, évidemment.

[shokin]

Le déterminant égale (k-2)(k+5).

Pour qu'il y ait une et une seule solution, il faut que le déterminant soit non nul, donc que k soit ni égal à 2, ni égal à -5.

Maintenant, si k=2 ou k=-5, y a-t-il infinité de solutions ou aucune solution ?

Il faut voir si le vecteur (3 -2 1) est linéairement dépendant des trois autres vecteurs-colonnes ((1 2 1), (0 k 2) et (-3 -1 k)).

Or si k=2 ou k=-5, parmi les trois vecteurs cités, l'un est combinaison linéaire des deux autres, c'est à dire qu'il est superflu.

Calculons alors la matrice 3x3 composée de deux de ces vecteurs-colonnes et du vecteur (3 -2 1), ainsi que son déterminant.

Si celui-ci est nul, alors (3 -2 1) est linéairement dépendant des deux autres. Il y a donc au moins une solution, une infinité puisque k=2 ou k=-5.

Si celui n'est pas nul, alors (3 -2 1) n'est pas linéairement dépendant des deux autres vecteurs donc ne peut pas être obtenu à partir de ceux-ci. Il n'y a donc aucune solution.

Il faut essayer une fois avec k=2, une fois avec k=5.

Shokin

[invitef178151b]

Merci beaucoup shokin