Probleme MathÉmatique
Rappelons q'une matrice carrée A est inversible det(A) = pas 0. Considérons le système de 3 équations linéaires a 3 inconnues x,y et z avec le paramètre k
x-3z=-3
2x+ky-z=-2
x+2y+kz=1
Déterminez les valeurs de k de telle sorte que le système d'inconnues ait:
a) une solution unique
b) aucune solution
c) une infinité de solutions
tout d'abord bonjour...
le problème est pour toi ou pour nous ?
si c'est pour toi, tu as tres justement rappelé le résultat qui te permettras, en regardant dans ton cours, de répondre...
Re : Probleme MathÉmatique
je suis bloqué depuis 1 heure sur se probleme , j'ai beau regarder mes notes sa ne débloque pas
Merci de votre aide!
traduis ton systeme en matriciel, puis utilises les propriétés qui trainent dans ton cours...
Re : Probleme MathÉmatique
Avec les rangs des matrices, on trouve en k = 2 une solution unique et en k = -5 aucune solution. Je ne suis pas certain de mon résultat et je suis incapable de trouver la valeur de k afin d'obtenir une infinité de solutions.
Merci de ton aide.
Salut,
Tu peux expliquer comment tu as trouvé ces résultats... Je pense qu'il y a une erreur...
moi non plus je suis pas sur...
la solution unique c'est pour A inversible donc pour plusieurs valeurs de k (k n'est pas racine du polynome)
ensuite tu as 3 valeurs de k pour trouver ton bonheur
Euh... pourquoi 3 ?
On calcule le déterminant, on obtient ici un polynôme de degré 2 en k, s'il est non-nul, on a une unique solution. S'il est nul alors on a des équations linéairement dépendantes, il faut voir si elles sont compatibles (infinité de solutions) ou contradictoires (pas de solution)
je t'avoue que j'ai pas calculé le déterminant et que j'ai même pas vérifié la tête qu'il aurait...
effectivement c'est bien du degré 2 en k
Merci de votre aide,
j'ai trouver mon résultat de la façon suivante. Le déterminant de la matrice est (k^2 + 3k - 10). Alors on a déterminant = 0 lorsque k = 2 et k = -5.
Pour la solution unique, le rang de la matrice augmenté doit être égal au rang de la matrice (x,y,z). On trouve k = 2
Pour aucune solution , le rang de la matrice augmenté doit être supérieur au rang de la matrice (x,y,z) On trouve k = -5
Pour la solution infinie, le rang de la matrice augmenté doit être inférieur au rang de la matrice (x,y,z)
Je ne suis cependant pas certain de la méthode.
Merci à l'avance!
je vois pas trop d'où sort ton argumentation, regarde le poste #8 qui résume (brievement mais completement) les notions nécessaire à résoudre le truc.
ps : ta méthode et ton résultat sont faux
Re : Probleme MathÉmatique
Si je reprend la citation 8 j'obtient maintenant une solution unique pour les réels sauf pour -5 et 2.
Cependant je ne trouve rien concernant la notion d'incompatibilité ou de contradiction
Merci
ca fait deja un premier résultat de juste.
le probleme si le déterminant est nul, c'est que ta matrice est de rang 2 ou 1. il faut voir si l'image de R3 qu'elle donne contient ton vecteur (-3,-2,1) ou pas. si oui, tu as une infinité de solutions, si non alors tu n'as pas de solutions.
allez bonne nuit et bon courage
Re : Probleme MathÉmatique
Merci de votre aide !
Vous m'avez beaucoup aider
Sebastien
Les équations sont si simples qu'on peut résoudre par substitution. On finit par tomber sur une équation en z du genre Az = B qui peut avoir 1, 0 ou une infinité de solutions.
Ca n'enlève rien à la méthode par les déterminants, évidemment.
Le déterminant égale (k-2)(k+5).
Pour qu'il y ait une et une seule solution, il faut que le déterminant soit non nul, donc que k soit ni égal à 2, ni égal à -5.
Maintenant, si k=2 ou k=-5, y a-t-il infinité de solutions ou aucune solution ?
Il faut voir si le vecteur (3 -2 1) est linéairement dépendant des trois autres vecteurs-colonnes ((1 2 1), (0 k 2) et (-3 -1 k)).
Or si k=2 ou k=-5, parmi les trois vecteurs cités, l'un est combinaison linéaire des deux autres, c'est à dire qu'il est superflu.
Calculons alors la matrice 3x3 composée de deux de ces vecteurs-colonnes et du vecteur (3 -2 1), ainsi que son déterminant.
Si celui-ci est nul, alors (3 -2 1) est linéairement dépendant des deux autres. Il y a donc au moins une solution, une infinité puisque k=2 ou k=-5.
Si celui n'est pas nul, alors (3 -2 1) n'est pas linéairement dépendant des deux autres vecteurs donc ne peut pas être obtenu à partir de ceux-ci. Il n'y a donc aucune solution.
Il faut essayer une fois avec k=2, une fois avec k=5.
Shokin
Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.
Re : Probleme MathÉmatique
Merci beaucoup shokin
