La suite de Heron

[invitef45cc474]

Salut
Bon voilà j'ai un exo sur l'extraction de la racine carée d'un nombre par la méthode d'Héron.
On a la suite Un=(Un+(a/Un))/2 avec a la nombre dont on veut la racine. (Uo c'est a, mais ça n'a pas d'importance je crois).

Voilà je dois montrer que cette suite tend vers sqrt(a)... J'y arrive en disant Un+1²-a=(1/4)*(Un-(a/Un))² >0 et Un+1-Un=(1/2Un)*(a-Un²)<0 , donc (Un) décroissante et minorée donc converge, et enfin la limite vérifie l=0.5(l+(a/l)) d'où l²=a

Mais je trouve ça vraiment moche... y'a pas un moyen plus élégant ?
Merci!
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[invite48af87b5]

Ca c'est une question pour Hedron.

Idée n°1 (magique) : trouves une transformation v_n = h(u_n) où h est une homographie (de la forme h(x)=(ax+b)/(cx+d)). Choisis h de sorte qu'elle envoit racine de a sur 0 et moins racine de a sur l'infini. Alors la relation v_n+1 en fonction de v_n sera plus simple (de la forme constante fois v_n au carré).

Bien-sûr ce n'est pas de la magie, il y a toute une théorie derrière.

Idée n°2 : pourquoi je pense que c'est pas si moche, parceque il n'y a pas toujours, contrairement à l'exemple que tu veux traîter, une formule magique. Tu as une relation de récurrence de type u_n+1 = f(u_n). C'est la théorie de l'itération des fonctions (d'une variable réelle). Dans ce cas, les points fixes (solutions de x=f(x)) ont une importance capitale. Pour faire l'étude, on trace le graphe de y=f(x), puis la diagonale principale (y=x) sur le même graphe, et on a une méthode graphique de résolution appelée la méthode de l'escargot. ETC...

[invitef45cc474]

Ok j'ai utilisé le point fixe... merci
Par contre je dois montrer que si Un-1 -Un<eps/2 alors Un-sqrt(a)<eps avec eps>0 fixé et a le nombre dont on cherche la racine.
J'ai beau retourner la formule de récurrence dans tous les sens, j'y arrive pas! kipeumaidé?