La suite de Heron
Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 3 sur 3

La suite de Heron



  1. #1
    invitef45cc474

    La suite de Heron


    ------

    Salut
    Bon voilà j'ai un exo sur l'extraction de la racine carée d'un nombre par la méthode d'Héron.
    On a la suite Un=(Un+(a/Un))/2 avec a la nombre dont on veut la racine. (Uo c'est a, mais ça n'a pas d'importance je crois).

    Voilà je dois montrer que cette suite tend vers sqrt(a)... J'y arrive en disant Un+1²-a=(1/4)*(Un-(a/Un))² >0 et Un+1-Un=(1/2Un)*(a-Un²)<0 , donc (Un) décroissante et minorée donc converge, et enfin la limite vérifie l=0.5(l+(a/l)) d'où l²=a

    Mais je trouve ça vraiment moche... y'a pas un moyen plus élégant ?
    Merci!

    -----

  2. #2
    invite48af87b5

    Re : La suite de Heron

    Ca c'est une question pour Hedron.

    Idée n°1 (magique) : trouves une transformation v_n = h(u_n) où h est une homographie (de la forme h(x)=(ax+b)/(cx+d)). Choisis h de sorte qu'elle envoit racine de a sur 0 et moins racine de a sur l'infini. Alors la relation v_n+1 en fonction de v_n sera plus simple (de la forme constante fois v_n au carré).

    Bien-sûr ce n'est pas de la magie, il y a toute une théorie derrière.

    Idée n°2 : pourquoi je pense que c'est pas si moche, parceque il n'y a pas toujours, contrairement à l'exemple que tu veux traîter, une formule magique. Tu as une relation de récurrence de type u_n+1 = f(u_n). C'est la théorie de l'itération des fonctions (d'une variable réelle). Dans ce cas, les points fixes (solutions de x=f(x)) ont une importance capitale. Pour faire l'étude, on trace le graphe de y=f(x), puis la diagonale principale (y=x) sur le même graphe, et on a une méthode graphique de résolution appelée la méthode de l'escargot. ETC...

  3. #3
    invitef45cc474

    Re : La suite de Heron

    Ok j'ai utilisé le point fixe... merci
    Par contre je dois montrer que si Un-1 -Un<eps/2 alors Un-sqrt(a)<eps avec eps>0 fixé et a le nombre dont on cherche la racine.
    J'ai beau retourner la formule de récurrence dans tous les sens, j'y arrive pas! kipeumaidé?

Discussions similaires

  1. Méthode de Héron. Manque d'inspiration
    Par invite2031b66f dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 5
    Dernier message: 20/11/2007, 19h46
  2. Exercices:Formule de Héron
    Par inviteb093eafb dans le forum TPE / TIPE et autres travaux
    Réponses: 0
    Dernier message: 18/04/2007, 17h44
  3. petite question voir si j'ai faux formule heron
    Par invite51192ae5 dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 3
    Dernier message: 22/10/2006, 22h13
  4. équation semblable à celle de Héron
    Par invitef3dee274 dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 4
    Dernier message: 15/10/2006, 17h15
  5. Héron d'Alexandrie
    Par invite4ac61d3e dans le forum Lectures scientifiques
    Réponses: 0
    Dernier message: 01/01/2006, 01h44