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équation semblable à celle de Héron



  1. #1
    lany

    équation semblable à celle de Héron


    ------

    la formule de héron permet, à l'aide des mesures des 3 côtés d'un triangle quelquonque, de trouver l'aire de cette forme. J'en ai trouvé une semblable à l'aide de pythagore et celle-ci est en lien direct avec la loi des cosinus.

    Prouvons la. Prenons un triangle de coté ABC, de hauteur h, et B le coté départagé par cette hauteur. Le coté B est départagé en un segment X et un Y.

    C²=h²+y²
    h²=y²-c²

    a²=h²+x²
    h²=x²-a²

    h²=h²
    y²-c²=x²-a²
    (b-x)²-c²=x²-a²
    b²-2bx+x²-c²=x²-a²
    2bx=a²+b²-c²
    x=(a²+b²-c²)/2b
    (voici le petit lien avec la loi des cos, pas raport avec la suite de la formule)
    CosC=x/a
    CosC=(a²+b²-c²)/2b/a
    CosC=(a²+b²-c²)/2ab
    2abCosC=a²+b²-c²
    c²=a²+b²-2abCosC

    Bon retournons à notre X
    h²=a²-x²
    h=racine(a²-((a²+b²-c²)/2b)²)
    A=b*h/2
    A=½b*racine(a²-((a²+b²-c²)/2b)²)

    P.S. Cette formule marche toujours, peut importe le côté qui prend la valeur a,b ou c.( je l'ai tester en masse )

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    kNz

    Re : équation semblable à celle de Héron

    Salut,

    Y a quelques p'tites erreurs de calcul, lignes 2 et 4 déjà, et puis sois plus rigoureux(se), tu nous définis mal le triangle, on a l'impression que pour toi C désigne un côté, et tu nous sors un cos C, c'est l'angle opposé à au côté C ??

  4. #3
    lany

    Re : équation semblable à celle de Héron

    t'a raison pour les erreurs de calcul je rectifie ça LA

    C²=h²+y²
    h²=c²-y²

    a²=h²+x²
    h²=a²-x²

    h²=h²
    c²-y²=a²-x²
    c²-(b-x)²=a²-x²
    c²-(b²-2bx+x²)=a²-x²
    c²-b²+2bx-x²=a²-x²
    2bx=a²+b²-c²

    et le reste est encore bon ça revient corect ( j'ai écris ça tard hier donc c'est peut-être pour ça que j'ai fait des petites erreurs mais merci!) pour ce qui est du cosC et biensûr que C est l'angle opposée au côté c c'est une convention mathématique non?

  5. #4
    kNz

    Re : équation semblable à celle de Héron

    Oui mais c'est pas très rigoureux de dire par exemple des choses comme un triangle de côté ABC ou autre chose, précise que c'est le triangle ABC dans le sens direct puisque c'est important pour qu'on ait les mêmes notations par la suite ..

    Et sans t'en être rendu compte tu as utilisé Al Kashi, tu dois pas connaître je suppose, si ?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    lany

    Re : équation semblable à celle de Héron

    oui je connais Al kashi en fait c'est lui qui a fait la loi des cos c'est pour ça que j'ai dit ce que je fesais avait un lien avec cette formule...bon le triangle c'est plate je peu pas le dessiner, Mais en gros la base du triangle est B, son côté à gauche C, à droite A, les sommet sont dans l'ordre en partant du sommet et dans le sens des aiguille d'une montre B, C, A (opposà à l'eur côté de même lettre)... les variable se x et y se lise dans l'ordre partant de la gauche y , x ( 2 partie de B qui sont séparé par la hauteur du triangle partant de B à b)

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