Un petit DM pour les vacances

[invite694e3ce5]

Bonjours à tous le prof de mathématiques nous a proposé un petit DM pour ces vacances malheuresement je bloque sur pas mal points notamment dès le premiere exercice

Un triangle quelconque avec a = BC ; b = AC ; c= BA : les angles  , ^B , ^C les angles correspondants a chaque sommet de plus on sait que a cos( A ) + bcos (B) + ccos(C) est non nul et G le barycentre de ( A; acos(A) )) ,( B,bcos(B) )) ; ( C,ccos(C)

Il faut determiner la nature de l ensemble des points M du plan tels que

acos(A) MA² + bcos(B) MB² + Ccos( C) MC² = abc

Le professeur donne une indication en rappelant que MA² = le vecteur MA² et propose d introduire le barycentre

J'ai tenté mai en developpant ( MG + GA ) ² je ne comprend pas comment retomber sur un ensemble connu

Puis j'ai essayé de divisé par la somme non nul dans l énoncé mais je bloque



en deuxieme partie il faut utiliser Al kashi dans ABC et montrer que a=bcos(C) + ccos(B)

ensuite montré que A appartient a notre ensemble de la premiere partie


et conclure en disant ce que represente G pour le triangle ABC
si vous pouvez m'aider

Merci d'avance
Arnaud
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[invite57a1e779]

Il suffit de développer : .

On fait la même chose avec et et on trouve que tout se simplifie comme par magie.

[invite694e3ce5]

j'ai fait ce calcul mais tu simplifie par acosa+bcosb+ccosc ? ou tu utilise la formule du barycentre .?

[invite57a1e779]

Qu'as-tu obtenu ?
Il faut bien évidemment utiliser que

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite694e3ce5]

oui j'ai voulu utiliser cette formule mais je vois pas trop comment m'en sortir avec le GA² le GB² et le GC² et en utilisant cette forume je ne retombe pas sur un ensemble connu et je ne vois pas comment simplifier plus

[invite57a1e779]

Qu'as-tu obtenu pour ?

[invite694e3ce5]

justement là est mon souci je ne vois pas comment on peut s'en sortir avec ca

[invite57a1e779]

Tu multiplies chaque ligne par ce qu'il faut, et tu fais l'addition colonne par colonne...

[invite694e3ce5]

j'obtient acosA( MG²+2MGGA+GA²)+bcosB ( MG² + 2MGGB + GB² + ccosC( MG²+2MGGC+GB²)


et avec ta methode ca fait

MG² ( acosA+bcocB+ccosC ) + 2MG( acosA GA + bcosB GB + ccos c GC ) +acos A GA² + bcos B GB² + c cos C GC ²

[invite57a1e779]

MG² ( acosA+bcocB+ccosC ) + 2MG( acosA GA + bcosB GB + ccos c GC ) +acos A GA² + bcos B GB² + c cos C GC ²

Je vois un terme nul qui doit disparaître illico presto, ce qui te permettra de reconnaître l'ensemble des points M.

[invite694e3ce5]

on obtient alors MG² = (abc -acos A GA² - bcos B GB² - c cos C GC ²)/ ( acosA+bcocB+ccosC )

[invite694e3ce5]

Je ne comprends pas comment on doit reconnaitre un ensemble si tu pouvais



je te remercie deja pour toutes ces reponses

[invite57a1e779]

Si MG a une valeur connue, l'ensemble des points M est un ...

[invite694e3ce5]

donc sachant que MG a une valeur donné l'ensemble des point M décrit un cercle de centre G et de rayon MG ensuite pour prouvé que a = bcos C + c cos B
j'ai utiliser al kashi de la sorte

b²=a²+c² - 2ac cos B
c² = a² + b² - 2ab cos C

j'ai addition les deux lignes et je suis tombé sur a = ccos B + bcos C


ensuite pour prouvez que A appartient au cercle j'ai remplacer dans la formule de l'énoncé M par A et je suis tombé sur a = c cos B + cos C

donc A appartient a l ensemble

on admet pour B C

ainsi A B C appartiennent tout trois au cercle

donc G est le centre du cercle circonscrit on en déduit que c le centre de gravité si mes souvenirs sont bons


Merci si tu pouvais me dire si mes raisonnement sont bon a tte

[invite57a1e779]

donc G est le centre du cercle circonscrit on en déduit que c le centre de gravité si mes souvenirs sont bons

C'est bon, tu as compris.

Mais tes souvenirs te trahissent, le centre du cercle circonscrit n'est pas le centre de gravité.

[invite694e3ce5]

Dans le deuxieme exercice on se place dans un rond

et a tout Reel m on associe la droite Dm d'équation (1-m²)x+2my-2(m+1) = 0

1) il faut démontrer l existence d'un point A dont il faudra determiner les coordonnées et dont la distance a ces droites est constante je suis passé
par


d( A Dm ) = (1-m²)x(a) + 2my(a)-2(m+1)/ [ (1-m²)² + 2m² ] ^1/2=K

avec K une constante


en developpant la racine je trouve que le dénominateur est egal a m²+1 et la je bloque si tu peux m'aider meme si il est tard ca serait simpa merci d'avance

[invite57a1e779]

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