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les distributions, c'est quoi?



  1. #1
    evariste_galois

    les distributions, c'est quoi?


    ------

    Bonjour,

    Je suis tombé sur un sujet tout à fait intéressant, et on y faisait mention d'un outil mathématique érigé dans les année 50 par Laurent Schwarz: les Distributions.
    J'ai essayé de comprendre ce que c'était à l'aide de bouquins, mais ça reste assez flou.
    Alors, est-ce qu'une âme charitable aurait la gentillesse de m'expliquer en gros à quoi servent les distributions et pourquoi les qualifie-t-on de fonctions génèralisées?

    Merci d'avance.

    -----
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

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  3. #2
    Evil.Saien

    Re : les distributions, c'est quoi?

    Salut,
    d'une manière général une distibution est une fonction f(x) tels que integrale (x allant de -inf à inf) f(x) = 1
    Mon psychiatre, pour quinze mille francs, il m'a débarrassé de ce que j'avais : quinze mille francs

  4. #3
    Bawah

    Re : les distributions, c'est quoi?

    Bonjour à tous,

    Formellement, une distribution est une forme lineaire sur l'espace des
    fonctions indefiniment dérivables nulles en dehors d'une partie fermée bornée (ce sont les "fonctions test"), et verifiant une condition de continuité.

    Les distributions sont une généralisation des fonctions en ce sens qu'une fonction localement integrable f définit une forme linéaire sur l'espace des fonctions test h via (intégrale de hf).

    Les distributions font partie des outils utilisés pour résoudre des équations aux dérivées partielles linéaires.

    Voila, j'espère que cela repond à ta question.

    Bonsoir.

  5. #4
    evariste_galois

    Re : les distributions, c'est quoi?

    ok merci pour ces informations, je vais essayer d'approfondir.
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    shokin

    Re : les distributions, c'est quoi?

    on emploie pas mal en statistiques :

    distribution binomiale, loi de distribution (ou répartition) normale, multinomiale, etc.

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  8. #6
    Bawah

    Re : les distributions, c'est quoi?

    Bonjour à tous,

    En fait, c'est malheureux mais le terme de distributions designent deux types d'objets différents:

    -Les distributions de Laurent Schwartz sont les objets dont j'ai parlé
    précedemment, et que l'on rencontre dans la resolution des équations
    aux dérivées partielles linéaires;

    -Les distributions de probabilité,que l'on rencontre en probabilité (!) et
    en statistiques: Imaginons qu'on lance 100000 fois une pièce;on gagne
    1 euro si on a "pile", on perd 1 euro si on a "face". Alors le gain total
    est une variable aléatoire, entièrement décrite par sa distribution de
    probabilité, qui est une fonction telle que la probabilité que le gain
    appartienne à une partie A de R soit égale à l'intégrale de la
    distribution de proba sur A. Du coup, cette fonction a une intégrale
    égale à un (la proba pour que le gain soit un réel est de un !)

    Voila.

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  10. #7
    Coincoin

    Re : les distributions, c'est quoi?

    Salut,
    Je suis d'accord avec les très bonnes réponses de Bawah : une distribution est une fonctionnelle, c'est-à-dire quelque chose qui associe un nombre à une fonction (voir la définition des fonctions d'essai de Bawah). Par exemple, l'intégrale est une distribution (et par définition une distribution qui associe à la fonction un nombre qui peut s'écrire comme est appelée "distribution régulière" (associée à h)). Une autre distribution courante est la distribution de Dirac : . Cette distribution n'est pas régulière, mis à part pour les physiciens qui manipulent le "pic de Dirac" (une fonction nulle partout sauf en 0 où elle est infinie et telle que et )
    Encore une victoire de Canard !

  11. #8
    Evil.Saien

    Re : les distributions, c'est quoi?

    Citation Envoyé par Coincoin
    Cette distribution n'est pas régulière, mis à part pour les physiciens qui manipulent le "pic de Dirac" (une fonction nulle partout sauf en 0 où elle est infinie
    Hum hum, infini ? Moi je dirais plutot 1...
    Mon psychiatre, pour quinze mille francs, il m'a débarrassé de ce que j'avais : quinze mille francs

  12. #9
    esboy

    Re : les distributions, c'est quoi?

    Citation Envoyé par Evil.Saien
    Hum hum, infini ? Moi je dirais plutot 1...
    non, parce que si elle a une valeur finie en 0, son intégrale sur R est "classiquement" calculable et vaut 0, et non 1

  13. #10
    Coincoin

    Re : les distributions, c'est quoi?

    Pour imaginer le pic de Dirac, le mieux est de prendre une fonction f dont l'intégrale vaut 1 (par exemple une gaussienne normalisée) et de considérer la suite de fonctions : fn(x)=n*f(nx), c'est-à-dire que la fonction va se resserer en gardant une aire constante (donc sa hauteur augmente). Puis tu fais tendre n vers l'infini. Tu as alors plusieurs moyens de considérer le problème :
    Matheux n°1 : La suite de fonctions converge vers la fonction nulle sur tout R sauf en 0 où elle diverge. L'intégrale de cette fonction limite est nulle car la fonction est nulle sauf en 1 point.
    Matheux n°2 : La suite de distributions régulières associée au fonctions fn tend vers la distribution de Dirac , qui n'est pas régulière.
    Physicien : La suite de fonctions tend vers la fonction de Dirac qui est nulle partout sauf en 0 où elle est infinie. L'intégrale de la fonction de Dirac vaut 1. (Si ça vous plaît pas, demandez aux matheux, ils ont une théorie qui le justifie).
    Encore une victoire de Canard !

  14. #11
    esboy

    Re : les distributions, c'est quoi?

    Citation Envoyé par Coincoin
    (Si ça vous plaît pas, demandez aux matheux, ils ont une théorie qui le justifie).
    il suffit d'en être conscient

  15. #12
    hedron

    Re : les distributions, c'est quoi?

    J'ai suivi un cours sur (entre autres) les distributions il y a 10 ans. C'était un cours de maths et pas de physique, alors on n'a pas eu le droit aux interprétations, et c'est domage...

    D'après ce dont je me souviens, les distributions sont pratiques quand on dérive. Une fonction continue n'est pas toujours dérivable. Alors qu'une distribution est toujours dérivable et sa dérivée est encore une distribution. Et comme une fonction continue est un cas particulier de distribution, on peut donc parler de leur dérivée...de distribution. (Idem avec les fonctions continues par morceaux, et les fonctions localement intégrables ( ) ).

    Exemple : la fonction de t qui vaut 0 pour t<0 et 1 pour t>0 a pour dérivée... La distribution de Dirac.

    Encore une remarque : les distributions marchent bien avec les equations différentielles et les équations aux dérivées partielles linéaires. Pour le non linéaire, c'est une autre histoire.

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  17. #13
    BS

    Re : les distributions, c'est quoi?

    Citation Envoyé par Coincoin
    Physicien : La suite de fonctions tend vers la fonction de Dirac qui est nulle partout sauf en 0 où elle est infinie. L'intégrale de la fonction de Dirac vaut 1. (Si ça vous plaît pas, demandez aux matheux, ils ont une théorie qui le justifie).
    Oui, voici une façons de le voir : si f est une fonction intégrable, elle définit une distribution par <f,phi>=intégrale de fxphi.
    L'intégrale de f est donc <f,1> où 1 désigne la fonction constante égale à 1.
    Il est donc "naturel" de dire que l'intégrale du Dirac est <delta,1> qui fait... 1 !

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