induction d'isomorphisme

[invite92876ef2]

Bonjour.

Je suis bloqué à un exercice. Le voici :

On définit l'application Phi de IR[X] dans lui-même en posant :
Phi(P) = P(X+1) + P(X-1) - 2P(X)

1) Prouver que Phi est linéaire et n'est pas injective (très simple)

2) Prouver que, pour tout entier n>=0, Phi induit un isomorphisme entre X²IR_n[X] et IR_n[X].

Je n'ai pas la moindre idée, à moi d'utiliser un théorème du cours :

E et F deux IK-ev, f appartient à L(E,F) et V un sev de E supplémentaire de Ker f. On définit l'application g de V dans Im f
g : x -> g(x)=f(x).

L'application g est isomorphisme de V dans Im f.

Je sais alors montrer que Phi induit un isomorphisme de V, supplémentaire de Ker Phi, dans Im Phi. Mais est-ce que V = X²IR_n[X] et IR_n[X] ?! Note : bien remarquer _n.

Je vous remercie !
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[invited5b2473a]

Bonjour.

Je suis bloqué à un exercice. Le voici :

On définit l'application Phi de IR[X] dans lui-même en posant :
Phi(P) = P(X+1) + P(X-1) - 2P(X)

1) Prouver que Phi est linéaire et n'est pas injective (très simple)

2) Prouver que, pour tout entier n>=0, Phi induit un isomorphisme entre X²IR_n[X] et IR_n[X].

Je n'ai pas la moindre idée, à moi d'utiliser un théorème du cours :

E et F deux IK-ev, f appartient à L(E,F) et V un sev de E supplémentaire de Ker f. On définit l'application g de V dans Im f
g : x -> g(x)=f(x).

L'application g est isomorphisme de V dans Im f.

Je sais alors montrer que Phi induit un isomorphisme de V, supplémentaire de Ker Phi, dans Im Phi. Mais est-ce que V = X²IR_n[X] et IR_n[X] ?! Note : bien remarquer _n.

Je vous remercie !

Déjà, prouve que l'image de Phi par X²Rn[X] est bien incluse dans Rn[X] i.e que Phi(P) avec P € X²Rn[X], est un polynôme de degré <=n.
Vu que X²Rn[X] et Rn[X] ont la même dimension (finie), alors il te suffit de prouver que Phi restreinte à X²Rn[X] est injective.