un Ensemble, c'est quoi?

[invitea77054e9]

Hello,

L'objet de mon post est dans son titre.
En fait, l'an dernier j'ai eu droit au fameux "un ensemble, c'est une collection d'objet...vous verrez ce qu'est rigoureusement un ensemble plus tard..." lors de mon premier cours d'algèbre!
J'ai laissé de côté cette définition un moment, mais me voilà devenu l'hotage de ma curiosité. Sauvez-moi .
Comment définit-on concrètement un ensemble? Si cela relève de notion trop avancé pour être traitée sur quelques lignes, je me "contenterais" d'idées qui me permettrons d'approfondir la question par moi-même.

Merci d'avance.
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[hedron]

Je crois qu'on ne définit pas les ensembles (de nos jours)...

[Antikhippe]

Euhhh... Un ensemble, c'est dur à définir : c'est un rassemblement d'objets appelés éléments pourrait-on dire...

Mais je ne vois pas comment définir un ensemble de manière plus rigoureuse... Tu ne confonds pas avec la théorie des ensembles, au moins ? Non pourtant...

[hedron]

Par rigoureusement, le prof a probablement voulu dire la chose suivante :
- on décide d'appeler ensemble des entités qu'on ne définit pas
- on se donne des règles du jeu précises et rigoureuses (des axiomes) de manipulation de ces entités
- on peut fonder toute ("toute" ? ça fait débat) la mathématique avec ces règles du jeu

Exemple de règle du jeu : étant donné un ensemble A et une propriété P, on a le droit de définir l'ensemble des éléments de A qui vérifient P.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

Je suis assez bien hedron : je dirais que des éléments (n'importe quoi a priori) qui ont quelque chose en commun forment un ensemble.
Je n'ai jamais entendu parler de l'ensemble des choses qui n'ont aucun rapport les unes avec les autres.
L'inventaire de Prévert ne constituerait alors pas un ensemble.

[invite55c88d9c]

Peut etre que si tu te demandes ce que ce n'est pas,tu verra que tout peut etre considere comme ensemble;Ainsi en raisonnant par l'absurde on peut comprendre la notion d'ensemble :
un ensemble c'est tout et
tout est ensemble.

[invite8f53295a]

En fait c'est plutôt du domaine de la logique mathématique. C'est un modèle constitué d'"objets (il y aura toujours un truc non définissable au début), et d'une relation "appartient" entre ces objets. De plus ce modèle doit vérifier quelques propriétés appelés "axiomes de Zermelo-Frankel" je crois que je ne connais pas par coeur. Mais bien sûr il faut en plus admettre l'existence d'un tel modèle, où le faire apparaître dans une théorie encore plus générale dont il faudra admettre aussi l'existence d'un modèle... Enfin un vrai logicien trouvera peut-être quelques inexactitudes dans ce que je viens de raconter, ce n'est pas ma spécialité...

[invitea77054e9]

merci pour toutes ces réponses.

tant que j'y suis, je suis tombé sur cette affirmation: "...on notera {x,{x,y}} le couple (x,y)..."!
Est-ce une définition ou y a-t-il un moyen de se convaincre de l'équivalence entre (x,y) et {x,{x,y}}?

[hedron]

Bonjour.

tant que j'y suis, je suis tombé sur cette affirmation: "...on notera {x,{x,y}} le couple (x,y)..."!
Est-ce une définition ou y a-t-il un moyen de se convaincre de l'équivalence entre (x,y) et {x,{x,y}}?

Ce n'est pas une "vérité". C'est une "convention". Je dirai même une "astuce", qui fait parti du plan de fondation des maths sur un minimum d'axiomes. On aurait pu introduire une notation (x,y) et donner les propriétés qu'on veux qu'elle ait (comme (x,y)=(y,x) <=> x=y ) mais on s'est rendu compte qu'avec l'astuce précédente, on pouvait se "ramener" aux accolades. Mais on aurait très bien pu procéder autrement.
Exemple : {x,{{x,y}}} ou {x,{x,{y}}} doivent marcher aussi (à vérifier).

Mais on n'a pas besoin de savoir comment sont construits les couples quand on les utilise. Comme je l'ai dit ci-dessus, on n'a même pas besoin de les construire à partir d'autre chose...

[hedron]

Bon, {x,{{x,y}}} marche,
pour {x,{x,{y}}} je crois que ça ne marche pas
je crois que {{O,x},{{O},y}} marche où on note O = l'ensemble vide.

[martini_bird]

Salut,

la différence entre (x,y) et {x,y}, c'est qu'il y a une notion d'ordre dans un couple qu'il n'y a pas dans un ensemble à deux éléments. Du coup, pour définir les couples à partir des ensembles, il faut trouver un moyen de distinguer le premier du second élément.

Je crois que toutes tes propositions fonctionnent, hedron, puisque l'on peut distinguer le x du y.

Cordialement.

[moijdikssékool]

Par rigoureusement, le prof a probablement voulu dire la chose suivante :
- on décide d'appeler ensemble des entités qu'on ne définit pas
- on se donne des règles du jeu précises et rigoureuses (des axiomes) de manipulation de ces entités
- on peut fonder toute ("toute" ? ça fait débat) la mathématique avec ces règles du jeu

c'est un peu léger!
une définition qui dit de ne pas se définir...
un ensemble A, c'est avant tout une limite (fermée, ouverte...) entre ce qu'elle dit contenir (limite comprise si l'ensemble est dit "fermé") et ce qu'elle ne contient pas (Ac), munis de ses propres axiomes
Une fois que cela est acquis, on se pose alors la question de l'ensemble Ac ou AUAc
AUAc est l'ensemble délimité une fois de plus par une limite, munis de ses propres axiomes
et ainsi de suite, on se pose des questions sur l'ensemble qui n'est pas contenu dans l'ensemble étudié

Ta question revient à poser celle de savoir qu'est ce que l'ensemble des ensembles. ce dernier, résultat du raisonnement précédent, existe-t-il vraiment puisque il ne contient pas l'ensemble complémentaire à lui-même?
Donc on en arrive à se dire qu'un ensemble définit comme je l'ai fait est une absurdité étant donné que l'on arrive à une absurdité. Les Mathématiques, qui reposent sur la théories des ensembles, seraient-elles absurdes?

[invite55c88d9c]

je trouve cela un peu compliquer.Un ensemble est une collection d'objet d'apres nos professeurs.Or tout peut etre représenté comme objet : une fonction ,une loi de composition interne , externe,un ensemble.......sont des objet.Chaqu'un de ces objet possedant des propriétés.La difficulté dans la definition d'un ensemble est que les ensemble sont la base des math.Donc le vocabulaire employé pour definir ce mot doit etre aussi defini.C'est pour cela qu'en definissant le mot objet comme ' ce que l'on veut ' il reste a definir collection.On peut choisir ' quantité '' c'est a dire une collection d'objet sera une quatité d'objet.Finalement on aura pour definition de 'l'ensemble' : une quantité de ce que l'on veut.