bonsoir tout le monde svp j'ai besoin de votre aide
j'ai pa pu resoudre ce probléme
je veux demontrer que si G est un groupe fini avec e l'élément
neutre et ayant un ordre pair,alors il existe a différent de e dans G tel
que a*a=e et a différent de e
merci pour toute reponse
Il suffit de dénombrer les éléments du groupe en les regroupant par pairesavec
Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.
merci pour votre réponse
mais vrmt j'ai pas bien compris
car notre professeur a essayé de montrer que G muni d'une loi de composition interne
pour montrer qu'il y un élément neutre tel que a*a=e
et c'est ce que j'ai pa bien compris
si tu peux m'expliquer plus
sinon c'est pa grave et je te remercie encore une fois
pour ta reponse
Tu regroupes chaque élément a du groupe G avec son symétrique b. Tu obtiens des paires {a,b} avec a*b=e.
Une telle paire contient deux élément si a et b sont distincts.
Une telle paire ne contient qu'un élément si a=b, c'est-à-dire si a*a=e.
Combien y a-t-il de paires de chaque type ?
Combien le groupe a-t-il d'éléments ?
Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.
ce que je sais que l'ordre de G c'est
|G|=2n
et que qlq soit a appartient à G
a={a} si a*a=e
a={a,a'} si a*a#e
c'est ce que j'ai déduit
merci pour votre réponse
Bonjour,
euh je n'ai pas vraiment compris votre réponse zora ni en quoi elle permet de répondre à la question...
God's breath a donné toutes les indications.
D'une manière générale, si on a une application f de G dans G qui vérifie fof=Id alors on connait la parité du cardinal de l'ensemble des éléments a de G qui ne vérifient pas f(a)=a. Ainsi dans l'exemple cité on prend juste f l'application qui à x élément de G associe son inverse (et qui vérifie évidemment fof=Id) et alors en constatant que f(e) = e, on peut répondre à l'exercice en constatant que |G| est pair.
