bonsoir tout le monde svp j'ai besoin de votre aide
j'ai pa pu resoudre ce probléme
je veux demontrer que si G est un groupe fini avec e l'élément
neutre et ayant un ordre pair,alors il existe a différent de e dans G tel
que a*a=e et a différent de e
merci pour toute reponse
Il suffit de dénombrer les éléments du groupe en les regroupant par pairesavec
merci pour votre réponse
mais vrmt j'ai pas bien compris
car notre professeur a essayé de montrer que G muni d'une loi de composition interne
pour montrer qu'il y un élément neutre tel que a*a=e
et c'est ce que j'ai pa bien compris
si tu peux m'expliquer plus
sinon c'est pa grave et je te remercie encore une fois
pour ta reponse
Tu regroupes chaque élément a du groupe G avec son symétrique b. Tu obtiens des paires {a,b} avec a*b=e.
Une telle paire contient deux élément si a et b sont distincts.
Une telle paire ne contient qu'un élément si a=b, c'est-à-dire si a*a=e.
Combien y a-t-il de paires de chaque type ?
Combien le groupe a-t-il d'éléments ?
ce que je sais que l'ordre de G c'est
|G|=2n
et que qlq soit a appartient à G
a={a} si a*a=e
a={a,a'} si a*a#e
c'est ce que j'ai déduit
merci pour votre réponse
Bonjour,
euh je n'ai pas vraiment compris votre réponse zora ni en quoi elle permet de répondre à la question...
God's breath a donné toutes les indications.
D'une manière générale, si on a une application f de G dans G qui vérifie fof=Id alors on connait la parité du cardinal de l'ensemble des éléments a de G qui ne vérifient pas f(a)=a. Ainsi dans l'exemple cité on prend juste f l'application qui à x élément de G associe son inverse (et qui vérifie évidemment fof=Id) et alors en constatant que f(e) = e, on peut répondre à l'exercice en constatant que |G| est pair.
