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l'image reciproque d'un ouvert est un ouvert



  1. #1
    anouar437

    l'image reciproque d'un ouvert est un ouvert


    ------

    slt tt le monde
    soit X,X' deux espace metrique f : X->X'
    montrons l'équivalence suivants
    1:f continue
    2:V ouvert de X' alors f^-1(V) ouvert de X
    3:F fermé de X' alors f^-1(F) fermé de X

    pour 1=>2

    je prends a dans f^-1(V) peut on trouver B(a,r)inclu dans f^-1(V) ??
    f continue en a alors
    klksoi s>0 il existe c>0 tel que klksoi x dans B(a,c) => f(x) dans B(f(a),s) (*)
    a dans f^-1(V) alors f(a) dans V, V est ouvert donc il existe B(f(a),n) inclu dans V
    revenons a (*) pour s=n
    on a klksoi x dans B(a,c) => f(x) dans B(f(a),n)inclu dans V
    donc on a klksoi x dans B(a,c) => f(x) dans V ( c est relative à s=n)
    d'ou B(a,c) inclu dans f^-1(V) CQFD ???
    svp si vous avez une remarque c'est avec plaisir

    -----

  2. #2
    Souma93

    Re : l'image reciproque d'un ouvert est un ouvert

    waouh c simple et court ta démo T. bon boulot c exactement ce que je cherchais !

    en fait j'ai trouvé la définition de continuité utilisant les boules très jolie ^^
    Merci encore!

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